Hình hộp chữ nhật

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 8 bài viết Hình hộp chữ nhật, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 8.

Nội dung bài viết Hình hộp chữ nhật:
A TÓM TẮT LÍ THUYẾT Định nghĩa 1. Hình hộp chữ nhật có 6 mặt, các mặt là những hình chữ nhật. Định nghĩa 2. Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có các mặt là những hình vuông. Định nghĩa 3. Cho hình hộp chữ nhật có chiều dài a, chiều rộng b, chiều cao c. Diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật tính bởi công thức Sxq = 2(a + b)c. Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật tính bởi công thức Stp = 2(a + b)c + 2ab = 2(ab + bc + ca). Thể tích của hình hộp chữ nhật tính bởi công thức V = abc. Tính chất 1. Mô hình của hình hộp chữ nhật cho ta hình ảnh các quan hệ không gian sau C D0 0 A0 A B D B0 C Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung, chẳng hạn AB k A0B0. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau, chẳng hạn AB k D0C 0 vì chúng cùng song song với A0B0. Đường thẳng A0B0 không nằm trong mặt phẳng (ABCD) và song song với đường thẳng AB của mặt phẳng (ABCD), ta có A0B0 k mp(ABCD). Mặt phẳng (A0B0C 0D0) chứa hai đường thẳng cắt nhau A0B0, B0C 0 cùng song song với mặt phẳng (ABCD), ta có mp(A0B0C 0D0) k (ABCD).
Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung A thì chúng có chung một đường thẳng đi qua A, gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng. Chẳng hạn AB là giao tuyến của hai mặt phẳng (ABCD) và (ABB0A0). Đường thẳng A0A vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau AB, AD của mặt phẳng (ABCD), ta có A0A ⊥ mp(ABCD). Khi A0A ⊥ mp(ABCD) thì A0A vuông góc với mọi đường thẳng đi qua A và nằm trong mặt phẳng (ABCD), chẳng hạn A0A ⊥ AC. Mặt phẳng (A0B0BA) chứa đường thẳng A0A vuông góc với mặt phẳng (ABCD), ta có mp(A0B0BA) ⊥ mp(ABCD). B CÁC DẠNG TOÁN DẠNG 1. Hình hộp chữ nhật Phương pháp giải: Sử dụng các tính chất của hình hộp chữ nhật. VÍ DỤ 1. Cho hình lập phương ABCD.A0B0C 0D0. Điểm E chia DB theo tỉ số 1 : 3, điểm F chia B0A theo tỉ số 1 : 3. 1 Chứng minh rằng A0B0CD là hình chữ nhật. Tính diện tích hình chữ nhật đó nếu cạnh hình lập phương bằng a. 2 Gọi M là điểm chia DA theo tỉ số 1 : 3. Chứng minh rằng mặt phẳng (EMF) song song với mặt phẳng (A0B0CD). 3 Chứng minh rằng EF song song với mặt phẳng (A0B0CD). 4 Chứng minh EF song song với mặt phẳng (A0B0CD) mà không sử dụng kết quả của câu b.
LỜI GIẢI. 1 Chứng minh rằng A0B0CD là hình chữ nhật. Tính diện tích hình chữ nhật đó nếu cạnh hình lập phương bằng a. Xét tứ giác A0B0CD ta có A0B0 k CD (vì cùng song song với AB), A0B0 = CD (vì cùng bằng AB). Suy ra tứ giác A0B0CD là hình bình hành. Ta có DC ⊥ CC0 và DC ⊥ CB nên DC ⊥ mp(BCC0B0), suy ra DC ⊥ CB0. Hình bình hành A0B0CD có DCB ÷0 = 90◦ nên A0B0CD là hình chữ nhật. Xét 4B0C 0C vuông tại C 0 ta có B0C 2 = B0C 02 + C 0C 2 (định lí Py-ta-go). ⇒ B0C = a √ 2. D C A M A0 B0 D0 F B C 0 E Diện tích hình chữ nhật A0B0CD là SA0B0CD = A0B0 · B0C = a 2 √ 2. 2 Gọi M là điểm chia DA theo tỉ số 1 : 3. Chứng minh rằng mặt phẳng (EMF) song song với mặt phẳng (A0B0CD). 4DAB có DM MA = DE EB = 1 3 nên ME k AB (định lí Ta-lét đảo). Mà AB k A0B0 nên ME k A0B0. Suy ra ME k mp(A0B0CD). 4AB0D có DM MA = B0F F A = 1 3 nên MF k B0D (định lí Ta-lét đảo). Suy ra MF k mp(A0B0CD). Mặt phẳng (MEF) chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với mp(A0B0CD) nên mp(MEF) k mp(A0B0CD). 3 Chứng minh rằng EF song song với mặt phẳng (A0B0CD). Vì mp(MEF) k mp(A0B0CD) nên EF k mp(A0B0CD). 4 Chứng minh EF song song với mặt phẳng (A0B0CD) mà không sử dụng kết quả của câu b. Trong mp(ABB0A0), gọi K là giao điểm của BF và A0B0. Ta có AB k A0B0 nên KF F B = B0F F A (định lí Ta-lét). ⇒ KF F B = 1 3. 4BDK có KF F B = DE EB = 1 3 nên EF k DK (định lí Ta-lét đảo). Mà DK nằm trong mp(A0B0CD) nên EF k mp(A0B0CD). D C A A0 B0 D0 K B C 0 E F 1.
Bài tập tự luyện BÀI 1. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0B0C 0D0. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AD, DC. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của B0A0, B0C 0. Chứng minh rằng MN song song với IK. LỜI GIẢI. 4ACD có M, N lần lượt là trung điểm của AD và CD nên MN là đường trung bình. ⇒ MN k AC. (1) 4A0B0C 0 có I, K lần lượt là trung điểm của A0B0 và B0C 0 nên IK là đường trung bình. ⇒ IK k A0C 0. (2) Xét tứ giác ACC0A0 ta có AA0 k CC0 (vì cùng song song với BB0), AA0 = CC0 (vì cùng bằng BB0). D N C A M A0 B0 D0 I B C 0 K Suy ra tứ giác ACC0A0 là hình bình hành. Ta có AA0 ⊥ A0D0 và AA0 ⊥ A0B0 nên AA0 ⊥ mp(A0B0C 0D0), suy ra AA0 ⊥ A0C 0. Hình bình hành ACC0A0 có AA÷0C0 = 90◦ nên ACC0A0 là hình chữ nhật. (3) Từ (1), (2), (3) suy ra MN k IK. DẠNG 2. Diện tích Phương pháp giải: Diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật tính bởi công thức Sxq = 2(a + b)c. Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật tính bởi công thức Stp = 2(a + b)c + 2ab = 2(ab + bc + ca). Trong đó a là chiều dài, b là chiều rộng và c là chiều cao. VÍ DỤ 2. Hãy điền dấu chấm vào mặt để trống của viên súc sắc hình lập phương ở hình a sao cho viên súc sắc thỏa mãn hình b (chú ý rằng ở viên súc sắc, tổng hai số ở hai mặt đối nhau bao giờ cũng bằng 7). Hình a Hình b LỜI GIẢI.
Quan sát hình b ta thấy, khi nhìn thẳng vào mặt chứa số 2 sao cho mặt chứa số 6 ở trên thì mặt chứa số 3 sẽ ở bên trái. Áp dụng nhận xét này vào hình a thì mặt đối diện với mặt để trống là mặt có số 3. Do đó mặt để trống phải chứa số 4. 2. Bài tập tự luyện BÀI 2. Tính diện tích toàn phần của một hình hộp chữ nhật có chiều dài 4 cm, chiều rộng 3 cm, đường chéo của hình hộp bằng 13 cm. LỜI GIẢI. Gọi hình hộp chữ nhật đó là ABCD.A0B0C 0D0. Theo đề bài ta có A0B0 = 4 cm, B0C 0 = 3 cm, AC0 = 13 cm. 4A0B0C 0 vuông tại B0 có A0C 02 = A0B02 + B0C 02 (định lí Py-ta-go). ⇒ A0C 0 = 5 (cm). 4AA0C 0 vuông tại A0 có AC02 = AA02 + A0C 02 (định lí Py-ta-go). ⇒ AA0 = 12 (cm). Diện tích toàn phần là Stp = 2(A0B0 · B0C 0 + B0C 0 · AA0 + AA0 · A0B0) = 192 (cm2). D C A A0 B0 D0 B C 0 BÀI 3. Một hình hộp chữ nhật có tổng độ dài các cạnh bằng 140 cm, khoảng cách từ một đỉnh đến đỉnh xa nhất bằng 21 cm. Tính diện tích toàn phần. LỜI GIẢI. Gọi a, b, c là các kích thước của hình hộp chữ nhật, ta có (4(a + b + c) = 140 √ a 2 + b 2 + c 2 = 21. ⇔ (a + b + c = 35 a 2 + b 2 + c 2 = 441. Diện tích toàn phần bằng Stp = 2(ab + bc + ca) = (a + b + c) 2 − (a 2 + b 2 + c 2) = 352 − 441 = 784 cm2. BÀI 4. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0B0C 0D0. Gọi M là trung điểm của CC0. 1 Xác định giao tuyến của các mặt phẳng (ABB0A0) và (B0C 0M). 2 Xác định giao điểm của đường thẳng DM và mặt phẳng (A0B0C 0D0). 3 Xác định giao điểm của đường thẳng B0M và mặt phẳng (ABCD). LỜI GIẢI. 1 Xác định giao tuyến của các mặt phẳng (ABB0A0) và (B0C 0M). Mặt phẳng (B0C 0M) cũng là mặt phẳng (BCC0B0). Giao tuyến cần tìm là BB0.
2 Xác định giao điểm của đường thẳng DM và mặt phẳng (A0B0C 0D0). Trong mp(CDD0C 0), gọi I là giao điểm của DM và D0C 0. Vậy I là giao điểm cần tìm. 3 Xác định giao điểm của đường thẳng B0M và mặt phẳng (ABCD). D C A A0 B0 D0 C 0 I M K B Trong mp(BCC0B0), gọi K là giao điểm của BC và B0M. Vậy K là giao điểm cần tìm. BÀI 5. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0B0C 0D0. Gọi M, I theo thứ tự là trung điểm của AA0, CC0. Chứng minh rằng các mặt phẳng (ADI) và (B0C 0M) song song với nhau. LỜI GIẢI. Ta có AD k B0C 0 (vì cùng song song với BC) nên AD k mp(B0C 0M). AMC0 I là hình bình hành nên AI k MC0, do đó AI k mp(B0C 0M). Vậy mp(ADI) k mp(MB0C 0).