Hình cầu, diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 9 bài viết Hình cầu, diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 9.

Nội dung bài viết Hình cầu, diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu:
A TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1. Hình cầu Định nghĩa 1. Khi quay nửa hình tròn (0; R) một vòng quanh đường kính AB cố định, ta được một hình cầu. Nửa hình tròn khi quay quét nên mặt cầu. Điểm O gọi là tâm, R là bán kính của hình cầu hay mặt cầu. Khi cắt hình cầu bởi một mặt phẳng thì mặt cắt là một hình tròn. A B O 2. Diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu – Diện tích mặt cầu: S = 4πR2 hay S = πd2, với R là bán kính; d là đường kính. – Thể tích hình cầu V = 4 3 πR3. B CÁC VÍ DỤ VÍ DỤ 1. Một phao cơ hình cầu tự động đóng nước chảy vào bể khi bể đầy. Biết diện tích bề mặt của phao là 804 cm2, tính bán kính của phao. LỜI GIẢI. Từ công thức S = 4πR2 ⇒ R = … S 4π. Bán kính của phao là R = … 804 4π ≈ 8 cm. VÍ DỤ 2. Phần trên của một chiếc cốc chân cao có dạng nửa hình cầu. Biết cốc này có thể chứa được 56, 5 ml nước. Tính đường kính của miệng cốc. LỜI GIẢI. Vì dung dích của cốc là 56,5 ml nên thể tích của cốc là 56,5 cm3. Ta có V = 4 3 πR3 do đó có thể tích của nửa hình cầu là 2 3 πR3. Theo đề bài, ta có 2 3 πR3 = 56,5 ⇒ R3 = 3 · 56 · 5 2π ≈ 27 cm3, suy ra R = 3 cm. Vậy đường kính của miệng cốc là 3 · 2 = 6 cm.
VÍ DỤ 3. Một trái dưa có dạng hình cầu. Bổ đôi trái dưa này ra thì mặt cắt có diện tích là 314 cm2. Tính thể tích của trái dưa đó. LỜI GIẢI. Khi bổ đôi trái dưa thì mặt cắt là một hình tròn. Ta có: S = πR2 ⇒ R = … S π ≈ 314 3,14 = 10 cm. Vậy bán kính của trái dưa là 10 cm. Thể tích của trái dưa là: V = 4 3 πR3 = 4 3 π · 103 ≈ 4187 cm3. VÍ DỤ 4. Trái đất có bán kính 6400 km. Diện tích biển và đại dương chiếm 3 4 bề mặt trái đất. Hãy tính diện tích biển và đại dương của trái đất (làm tròn đến triệu km2). LỜI GIẢI. Diện tích bề mặt trái đất là S = 4πR2 = 4 · π · 64002 ≈ 514457600 km2. Diện tích các biển và đại dương là 514457600 · 3 4 ≈ 386000000 km2. VÍ DỤ 5. Hình bên minh họa bộ phận lọc của một bình nước. Bộ phận này gồm một hình trụ và một nửa hình cầu với kích thước ghi trên hình. Hãy tính 1 Thể tích của bộ phận đó; 2 Diện tích mặt ngoài của bộ phận này. 5cm 6cm LỜI GIẢI. 1 Thể tích phần hình trụ là V1 = πR2h = π · 5 2 · 6 = 150π cm3. Thể tích nửa hình cầu: V2 = 1 2 · 4 3 πR3 = 2 3 π · 5 3 = 250 3 π cm3. Thể tích bộ phận lọc là: V = V1 + V2 = 150π + 250 3 π = 700 3 π cm3 ≈ 733 cm3. 2 Diện tích xung quanh của hình trụ là: S1 = 2πRh = 2π · 5 · 6 = 60π cm2. Diện tích đáy hình trụ là: S2 = π · R 2 = π · 5 2 = 25π cm3. Diện tích nửa mặt cầu là: S3 = 1 2 · 4πR2 = 2π · 5 2 = 50π cm3. Diện tích mặt ngoài của bộ phận lọc: S = S1 + S2 + S3 = 60π + 25π + 50π = 135π cm2 ≈ 424 cm2.
C LUYỆN TẬP BÀI 1. Cho hình cầu có bán kính R = 5a √ 2 2. 1 Tính diện tích mặt cầu. 2 Tính thể tích của khối cầu tương ứng. LỜI GIẢI. 1 Ta có S = 4π 5a √ 2 2 å2 = 50πa2 đvdt. 2 V = 4 3 π 5a √ 2 2 å3 = 125a 3 √ 2 3 đvtt. BÀI 2. Cho đường tròn (O) đường kính AB, dây CD ⊥ AB tại H. Cho biết CD = 12 cm và AH = 4 cm. Quay đường tròn này một vòng quanh AB. Tính diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu được tạo thành. LỜI GIẢI. Vẽ các đoạn thẳng CA, CB ta được: ACB ’ = 90◦. Vì AB ⊥ CD nên HD = HC = 6 cm. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có CH2 = HA · HB. Suy ra: HB = CH2 HA = 6 2 4 = 9 cm. Do đó, bán kính của đường tròn là (4 + 9) : 2 = 6,5 cm, bán kính hình cầu là 6,5 cm. Diện tích mặt cầu là S = 4πR2 = 4 · π · (6,5)2 ≈ 531 cm2. Diện tích hình cầu là V = 4 3 πR3 = 4 3 π · (6,5)3 ≈ 1150 cm3. C A B D O BÀI 3. Cho đường tròn (O; R) ngoại tiếp tam giác đều ABC. Quay đường tròn này một vòng quanh đường kính AOD ta được một hình cầu ngoại tiếp một hình nón. Tính thể tích phần bên trong hình cầu và bên ngoài hình nón. LỜI GIẢI. Độ dài cạnh của tam giác đều là AB = R √ 3. Bán kính đáy hình tròn là r = R √ 3 2. Chiều cao của hình nón là h = R √ 3 · √ 3 2 = 3R 2. Thể tích hình cầu là V1 = 4 3 πR3. Thể tích hình nón là V2 = 1 3 πr2h = 1 3 π · R √ 3 2 å2 · 3 2 R = 3 8 πR3.
Thể tích phần cần tìm là V = V1 − V2 = 4 3 πR3 − 3 8 πR3 = 23 24 πR3. A C O B D BÀI 4. Bạn An lấy thước dây đo vòng theo đường xích đạo của quả địa cầu trong thư viện được độ dài 94,2 cm. Hãy tính 1 Diện tích mặt ngoài của quả địa cầu. 2 Thể tích của quả địa cầu. LỜI GIẢI. Ta có chu vi của đường tròn xích đạo là 94,2 cm nên R = C 2π ≈ 94,2 2 · 3,14 = 15 cm. Do đó 1 Diện tích mặt ngoài của quả địa cầu là S = 4πR2 = 900π cm2. 2 Thể tích của quả địa cầu V = 4 3 πR3 = 4500 cm3. BÀI 5. Quả bóng bàn có số đo diện tích bề mặt (tính bằng cm2) gấp 1,5 lần số đo thể tích của nó (tính bằng cm3). Tính bán kính, diện tích và thể tích của quả bóng bàn. LỜI GIẢI. Theo đề bài, ta có 4πR2 = 1,5 · 4 3 πR3 ⇒ R = 2 cm. Do đó, diện tích quả bóng là S = 4πR2 = 16π cm2. Thể tích của quả bóng là V = 4 3 πR3 = 32 3 π cm3. BÀI 6. Một hình cầu đặt vừa khít trong một hình trụ có chiều cao là 18 cm. Tính thể tích phần không gian nằm trong hình trụ nhưng nằm bên ngoài hình cầu. LỜI GIẢI. Vì hình cầu đặt vừa khít trong hình trụ nên chiều cao của hình trụ bằng đường kính đáy và bằng đường kính của hình cầu. Bán kính đáy của hình cầu là 9 cm. Khi đó, thể tích hình trụ là V1 = πR2h = π · 9 2 · 18 = 1458 cm3. Thể tích hình cầu là V2 = 4 3 πR3 = 972π cm3.
Vậy thể tích cần tính là V = V1 − V2 = 486π ≈ 1526 cm3. BÀI 7. Một trái bưởi hình cầu có đường kính 18 cm. Lớp vỏ dày 1 cm. Tính thể tích của lớp vỏ bưởi. LỜI GIẢI. Bán kính trái bưởi là R = 9 cm. Bán kính trái bưởi sau khi gọt hết vỏ là r = 9 − 1 = 8 cm. Khi đó, thể tích lớp vỏ bưởi là V = 4 3 π R 3 − r 3 = 4 3 π 9 3 − 8 3 ≈ 909 cm3. BÀI 8. Một hình cầu có số đo diện tích mặt cầu (tính bằng cm2) đúng bằng số đo thể tích của nó (tính bằng cm3). Tính bán kính của hình cầu đó. LỜI GIẢI. Theo đề bài, ta có 4πR2 = 4 3 πR3 ⇒ R = 3 cm. BÀI 9. Một hình cầu có diện tích bề mặt là 100π m2. Tính thể tích của hình cầu đó. LỜI GIẢI. Theo đề bài, ta có 4πR2 = 100π ⇒ R = 5 m. Vậy thể tích hình cầu là V = 4 3 π · 5 3 = 500π 3 m3. BÀI 10. Cho tam giác đều ABC cạnh a, đường cao AH. Ta quay nửa đường tròn nội tiếp và nửa đường tròn ngoại tiếp tam giác đều này một vòng quanh AH. Tính 1 Tỉ số diên tích hai mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp hình nón. 2 Tỉ số thể tích của hai hình cầu nói trên. 3 Tính thể tích phần không gian giới hạn bởi hình nón và hình cầu ngoại tiếp hình nó.