VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 9 bài viết Giải phương trình hồi quy và phản hồi quy, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 9.
Nội dung bài viết Giải phương trình hồi quy và phản hồi quy:
Phương pháp giải: Phương trình hồi quy: Để giải phương trình ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0 (1) ta thực hiện theo các bước: Bước 1: Nhận xét rằng x = 0 không phải là nghiệm của phương trình. Chia cả hai vế của phương trình cho x 2 6= 0, ta được a x 2 + 1 x 2 + b x + 1 x + c = 0. (2) Bước 2: Đặt t = x + 1 x, suy ra x 2 + 1 x 2 = t 2 − 2. Khi đó, phương trình (2) có dạng: at2 + bt + c − 2a = 0. (3) Phương trình phản hồi quy: Để giải phương trình ax4 + bx3 + cx2 − bx + a = 0 (1) ta thực hiện theo các bước: Bước 1: Nhận xét rằng x = 0 không phải là nghiệm của phương trình. Chia cả hai vế của phương trình cho x 2 6= 0, ta được a x 2 + 1 x 2 + b x − 1 x + c = 0. (2) Bước 2: Đặt t = x − 1 x, suy ra x 2 + 1 x 2 = t 2 + 2. Khi đó, phương trình (2) có dạng: at2 + bt + c + 2a = 0. (3) Chú ý: Phương pháp mở rộng tự nhiên cho dạng phương trình ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 có hệ số thoả mãn e a = d b ã2, e 6= 0. Khi đó ta đặt ẩn phụ t = x + d b. 1 x. Trước hết ta quan tâm tới phương trình có dạng hồi quy.
VÍ DỤ 20. Giải phương trình x 4 − 1 2 x 3 − x 2 − 1 2 x + 1 = 0. LỜI GIẢI. Nhận xét rằng x = 0 không phải là nghiệm của phương trình. Chia cả hai vế của phương trình cho x 2 6= 0, ta được x 2 − 1 2 x − 1 − 1 2x + 1 x 2 = 0 ⇔ x 2 + 1 x 2 − 1 2 x + 1 x − 1 = 0. Đặt t = x + 1 x, điều kiện |t| ≥ 2, suy ra x 2 + 1 x 2 = t 2 − 2. Khi đó phương trình có dạng: t 2 − 1 2 t − 3 = 0 ⇔ t = 2 t = − 3 2 (loại). Với t = 2 ta có x + 1 x = 2 ⇔ x 2 − 2x + 1 = 0 ⇔ x = 1. Vậy phương trình có nghiệm x = 1. VÍ DỤ 21. Giải phương trình x 4 + 3x 3 − 35 4 x 2 − 3x + 1 = 0. LỜI GIẢI. Nhận xét rằng x = 0 không phải là nghiệm của phương trình. Chia cả hai vế của phương trình cho x 2 6= 0, ta được x 2 + 3x − 54 3 − 3 x + 1 x 2 = 0 ⇔ x 2 + 1 x 2 + 3 x − 1 x − 35 4 = 0. Đặt t = x − 1 x, điều kiện |t| ≥ 2, suy ra x 2 + 1 x 2 = t 2 + 2. Khi đó phương trình có dạng: t 2 + 2 + 3t − 35 4 = 0 ⇔ 4t 2 + 12t − 27 = 0 ⇔ t = 3 2 t = − 9 2. Với t = 3 2 ta có x − 1 x = 3 2 ⇔ 2x 2 − 3x − 2 = 0 ⇔ x = 2 x = − 1 2. Với t = − 9 2 ta có x − 1 x = − 9 2 ⇔ 2x 2 + 9x − 2 = 0 ⇔ x = −9 + √97 4 x = −9 − √97 4. Vậy phương trình có bốn nghiệm phân biệt x = 2, x = − 1 2, x = −9 + √97 4, x = −9 − √97 4. VÍ DỤ 22. Giải phương trình 2x 4 − 21x 3 + 74x 2 − 105x + 50 = 0. LỜI GIẢI. Nhận xét rằng x = 0 không phải là nghiệm của phương trình. Chia cả hai vế của phương trình cho x 2 6= 0, ta được 2 x 2 + 1 x 2 − 21 x + 5 x + 74 = 0. Đặt t = x + 5 x, suy ra x 2 + 25 x 2 = t 2 − 10. Khi đó phương trình có dạng: 2t 2 − 21t + 54 = 0 ⇔ t = 6 t = 9 2. Với t = 6 ta có x + 5 x = 6 ⇔ x 2 − 6x + 5 = 0 ⇔ x = 1 x = 5. Với t = 9 2 ta có x + 5 x = 9 2 ⇔ 2x 2 − 9x + 10 = 0 ⇔ x = 3 x = 5 2. Vậy phương trình có bốn nghiệm phân biệt x = 1, x = 5, x = 2, x = 5 2. 4!
Nhiều phương trình ở dạng ban đầu không phải là phương trình hồi quy hay phản hồi quy, tuy nhiên với phép đặt ẩn phụ thích hợp ta có thể chuyển chúng về dạng hồi quy hoặc phản hồi quy, từ đó áp dụng phương pháp đã biết để giải. Ta đi xem xét hai ví dụ sau. VÍ DỤ 23. Giải phương trình (x − 2)4 + (x − 2)(5x 2 − 14x + 13) + 1 = 0. (1) LỜI GIẢI. Nhận xét rằng đây không phải là một phương trình hồi quy, tuy nhiên nếu đặt ẩn phụ thích hợp ta sẽ có một phương trình hồi quy. Thật vậy, đặt y = x − 2, phương trình được biến đổi về dạng: y 4 + y 5(y + 2)2 − 14(y + 2) + 13 + 1 = 0 ⇔ y 4 + 5y 3 + 6y 2 + 5y + 1 = 0 (2) Nhận xét rằng y = 0 không phải là nghiệm của phương trình. Chia cả hai vế của phương trình cho y 2 6= 0, ta được phương trình tương đương y 2 + 1 y 2 + 5 y + 1 y + 6 = 0. Đặt t = y + 1 y, suy ra y 2 + 1 y 2 = t 2 − 2. Khi đó phương trình có dạng: t 2 + 5t + 4 = 0 ⇔ t = −1 t = −4. Với t = −1 ta có y + 1 y = −1 ⇔ y 2 − y + 1 = 0, vô nghiệm. Với t = −4 ta có y + 1 y = −4 ⇔ y 2 + 4y + 1 = 0 ⇔ y = −2 − √3 y = −2 + √3 suy ra nghiệm x = − √3 x = √3. Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x = − √3 và x = √3. VÍ DỤ 24. Giải phương trình (x 2 − x) 2 − 2x(3x − 5) − 3 = 0. LỜI GIẢI. Nhận xét rằng đây không phải là một phương trình hồi quy, tuy nhiên nếu đặt ẩn phụ thích hợp ta sẽ có một phương trình hồi quy. Thật vậy, đặt y = x − 1, phương trình được biến đổi về dạng: (y + 1)2 − (y + 1) − 2(y + 1) [3(y + 1) − 5] − 3 = 0 ⇔ y 4 + 2y 3 − 5y 2 − 2y + 1 = 0 Nhận xét rằng y = 0 không phải là nghiệm của phương trình. Chia cả hai vế của phương trình cho y 2 6= 0, ta được phương trình tương đương y 2 + 1 y 2 + 2 y − 1 y − 5 = 0. Đặt t = y − 1 y, suy ra y 2 + 1 y 2 = t 2 + 2. Khi đó phương trình có dạng: t 2 + 2t − 3 = 0 ⇔ t = 1 t = −3. Với t = −1 ta có y − 1 y = 1 ⇔ y 2 − y − 1 = 0 ⇔ y = 1 + √5 2 y = 1 − √5 2, từ đó suy ra x = 3 − √5 2 x = 3 + √5 2. Với t = −3 ta có y − 1 y = −3 ⇔ y 2 + 3y + 1 = 0 ⇔ y = −3 + √13 2 y = −3 − √13 2, từ đó suy ra x = −1 − √13 2 x = −1 + √13 2. Vậy phương trình có bốn nghiệm phân biệt x = 3 − √5 2, x = 3 + √5 2, x = −1 − √13 2, x = −1 + √13 2.