Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 9 bài viết Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 9.

Nội dung bài viết Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu:
Phương pháp giải: Phương pháp giải: Ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho phương trình. Bước 2: Khử mẫu, đưa phương trình về dạng thông thường. Bước 3: Kiểm tra điều kiện cho các nghiệm tìm được rồi kết luận. VÍ DỤ 7 (Bài 57.c, 57.d/tr 63 – Sgk). Giải các phương trình sau x x − 2 = 10 − 2x x 2 − 2x a) ; x + 0,5 3x + 1 = 7x + 2 9x 2 − 1 b). LỜI GIẢI. 1 Điều kiện x 6= 0, x 6= −2. Ta có x x − 2 = 10 − 2x x 2 − 2x ⇔ x 2 = 10 − 2x ⇔ x 2 + 2x − 10 = 0 ⇔ x = −1 − √11 x = −1 + √11. Vậy phương trình có hai nghiệm. 2 Điều kiện x 6= ± 1 3. Ta có x + 0,5 3x + 1 = 7x + 2 9x 2 − 1 ⇔ (x + 0,5)(3x − 1) = 7x + 2 ⇔ 3x 2 − 6,5x − 2,5 = 0 ⇔ 6x 2 − 13x − 5 = 0 ⇔ x = − 1 3 x = 5 2. Vậy phương trình có hai nghiệm. VÍ DỤ 8 (Bài 35.b, 35.c/tr 56 – Sgk). Giải các phương trình sau x + 2 x − 5 + 3 = 6 2 − x a). 4 x + 1 = −x 2 − x + 2 (x + 1)(x + 2) b). LỜI GIẢI. 1 Tập xác định: x 6= 5, x 6= 2. Ta có x + 2 x − 5 + 3 = 6 2 − x ⇔ (x + 2)(2 − x) + 3(x − 5)(2 − x) = 6(x − 3) ⇔ 4x 2 − 15x − 4 = 0 ⇔ x = 4 x = − 1 4. Vậy phương trình có hai nghiệm. 2 Tập xác định: x 6= 1, x 6= 2. Biến đổi phương trình về dạng 4(x + 2) = −x 2 − x + 2 ⇔ x 2 + 5x + 6 = 0 ⇔ x = −2 (loại) x = −3. Vậy phương trình có một nghiệm. 4! Trong một vài trường hợp, việc quy đồng mẫu số không phải là giải pháp tối ưu, đặc biệt khi quy đồng chúng ta nhận được một phương trình bậc cao hơn 2, trong những trường hợp như vậy chúng ta thường nghĩ tới những phương pháp giảm bậc cho phương trình và một trong số đó là phương pháp đặt ẩn phụ. Ví dụ sau sẽ minh họa nhận định này.
VÍ DỤ 9. Giải phương trình x 2 + 2 x 2 − 2x + 2 − x 2 + 2 x 2 + 3x + 2 = 5 2. LỜI GIẢI. Điều kiện (x 2 − 2x + 2 6= 0 x 2 + 3x + 2 6= 0 ⇔ (x 6= −1 x 6= −2. (*) Nhận xét rằng x = 0 không phải là nghiệm của phương trình. Chia cả tử và mẫu của V T của phương trình cho x 6= 0, ta được x + 2 x x − 2 + 2 x − x + 2 x x + 3 + 2 x = 5 2. Đặt t = x + 2 x, khi đó phương trình được chuyển về dạng t t − 2 − t t + 3 = 5 2 ⇔ t(t + 3) − t(t − 2) (t − 2)(t + 3) = 5 2 ⇔ 5t (t − 2)(t + 3) = 5 2 ⇔ 2t = (t − 2)(t + 3) ⇔ t 2 − t − 6 = 0 ⇔ t = 3 t = −2 ⇔ x + 2 x = 3 x + 2 x = −2 ⇔ x 2 − 3x + 2 = 0 x 2 + 2x + 2 = 0 (loại) ⇔ x = 1 x = 2. Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1 và x = 2. Nhận xét. 1) Như vậy, với bài toán trên nếu chúng ta lựa chọn hướng quy đồng mẫu số thì sẽ nhận được một phương trình bậc 4 và việc giải phương trình này phụ thuộc rất nhiều vào kỹ năng đoán nghiệm cùng phép chia đa thức để chuyển phương trình về dạng tích. Tuy nhiên, một câu hỏi thường được các em học sinh đặt ra ở đây là “Tại sao lại có thể nghĩ ra được cách chia cho x rồi đặt ẩn phụ như vậy?”, câu trả lời có thể được khẳng định ở dạng phương trình tổng quát ax2 + mx + c ax2 + nx + c + ax2 + px + c ax2 + qx + c = 0. Ta có thể lựa chọn phép chia cả tử và mẫu cho x (hoặc x 2) rồi đặt ẩn phụ t = ax + c x hoặc t = a + c x 2. Ý tưởng trên được mở rộng cho phương trình dạng mx ax2 + bx + d + nx ax2 + cx + d = p. 2) Việc lựa chọn ẩn phụ trong hầu hết các trường hợp luôn cần tới những biến đổi đại số để làm xuất hiện dạng của ẩn phụ và để thực hiện tốt công việc này các em học sinh luôn phải thật linh hoạt và sáng tạo. Ví dụ sau sẽ minh họa nhận định này. VÍ DỤ 10. Giải phương trình x 2 + 4x 2 (x + 2)2 = 5. LỜI GIẢI. Điều kiện x + 2 6= 0 ⇔ x 6= −2. Viết lại phương trình dưới dạng x 2 + 2x x + 2 2 = 5 ⇔ x − 2x x + 2 2 = 5 − 2x · 2x x + 2 ⇔ x 2 x + 2 2 + 4 · x 2 x + 2 − 5 = 0. Đặt t = x 2 x + 2, khi đó phương trình được chuyển về dạng t 2 + 4t − 5 = 0 ⇔ t = 1 hoặc t = −5. Với t = 1, ta được x 2 x + 2 = 1 ⇔ x 2 = x + 2 ⇔ x 2 − x + 2 = 0 ⇔ x = −1 x = 2. Với t = −5, ta được x 2 x + 2 = −5 ⇔ x 2 = −5x − 10 ⇔ x 2 + 5x + 10 = 0 (vô nghiệm). Vậy phương trình có hai nghiệm x = −1 và x = 2.