Giải bất phương trình logarit bằng phương pháp đưa về cùng cơ số

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Giải bất phương trình logarit bằng phương pháp đưa về cùng cơ số, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Giải bất phương trình logarit bằng phương pháp đưa về cùng cơ số:
Dạng 1. Phương pháp đưa về cùng cơ số Xét bất phương trình a a log f (x) log g(x) (a a) 0 1. Nếu a 1 thì a a log f (x) log g(x) f (x) g(x) ⇔ (cùng chiều khi a 1) Nếu 0 1 a thì a a log f (x) log g(x) f (x) g(x) ⇔ (ngược chiều khi 0 1 a) Nếu a chứa ẩn thì a a f(x) g(x) log f (x) log g(x) (a) f (x) g(x) 0 0 1 0 (hoặc chia 2 trường hợp của cơ số). Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau: a) log (x) log (x) 5 12 1 1 b) log (log x) 2 9 12 1. Lời giải: a) log (x) log (x) 5 5 12 1 1 (1).
Điều kiện: x x 1 12 0 1 2 1. Khi đó (1) ⇔ log (x) log log (x) 5 12 52 1 12 5 1 5 1 2 5 2 1 5 12 4 0. Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình là x 6 2 14 1 5 2 b) log (log x) 2 9 12 1 (2). Điều kiện x x log x log x 0 3 12 0 1 0 3. Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình x 1 3 3. Ví dụ 2: Giải các bất phương trình sau: a) x x log log 2 46 1 b) x x log x. Lời giải: a) Điều kiện: x ⇔ x log 4 60 64. Với x log 4 6 ta có: x x log 14 62 4 7 7 7.
Vậy nghiệm của BPT là: log x log 4 2 7 3. b) ĐK: x x 10 1 2 1 1 0 0. TH1: Với x 1: BPT x x 2 1 2 2 3 5 3 5 2 1 3 10 1 2 2. Kết hợp suy ra nghiệm của BPT là x 3 5 1 2. TH2: Với x 1 0 2 BTP x 1 2 2. Kết hợp suy ra nghiệm của BPT là x 35 1 2 2. Vậy nghiệm của BPT là x 3 51 3 5 1 22 2. Ví dụ 3: Giải các bất phương trình sau: a) 5 x x 2 b) x x log log 3 9 72 1. Lời giải: 5 5 log (4 144) 4log 2 1. Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là 2 4 x. b) x x log log 3 9 72 1 (3).
Điều kiện: x x log 9 3 0 1 (*). Với điều kiện (*) thì (3) x x 3 8 9 3 72 0 8 3 9. Từ đó ta được x ≤ 2. Kết hợp với điều kiện (*) ta được nghiệm của bất phương trình là log x 9 73 2. Nhận xét: Trong ví dụ trên, mặc dù cơ số chứa ẩn x nhưng do điều kiện ta xác định được ngay biểu thức vế trái đồng biến nên bài toán không phải chia 2 trường hợp. Ví dụ 4: Số nghiệm nguyên của bất phương trình log (x x) 2 1 2 28 4 là: A. 4 B. 5 C. 10 D. 11. Lời giải Ta có: BPT x x 2 80 2 2 6 4. Kết hợp x BPT có 4 nghiệm nguyên. Chọn A.
Ví dụ 5: Số nghiệm nguyên của bất phương trình log (x) log (x) 5 5 12 1 1 là: A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Lời giải: Điều kiện x 1 1 2. Ta có: BPT (x) x x log (x) 55 5 2 2. Kết hợp x x 2 2 5 BPT có 1 nghiệm nguyên. Chọn A. Ví dụ 6: Tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình log (x x) 2 2 3 2 là: A. T = −7 B. T = −6 C. T = −3 D. T = −4. Lời giải Ta có: 2 x 3x 0 0 x 1 log (x 3x) 2 x 3. Vậy nghiệm của BPT là: x 4 3 01. Kết hợp x x T. Chọn C. Ví dụ 7: Số nghiệm nguyên của bất phương trình log (x x) 2 5 11 43 2 là?
Lời giải: Ta có: x x 11 43 0 11 43 2 11 18 0 2 9 11 43 25. Vậy nghiệm của BPT là: 2 9 x. Kết hợp x x ⇒ {345678} BPT có 6 nghiệm nguyên. Chọn A. Ví dụ 8: Tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình log (x x) 2 1 2 46 2 A. T = 7 B. T = 6 C. T = 5 D. T = 3. Lời giải: Điều kiện xx 2 4 60. Ta có: log (x x). Kết hợp x x T {123 6}. Chọn B. Ví dụ 9: Tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình x x log log (x) (x). Kết hợp x x T {01236}. Chọn B. Ví dụ 10: Biết x = 94 là một nghiệm của bất phương trình a a log (x x) log (x x) (*).