Giải bất phương trình logarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Giải bất phương trình logarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Giải bất phương trình logarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ:
Dạng 2. Phương pháp đặt ẩn phụ Ta sẽ làm tương tự như các dạng đặt ẩn phụ của phương trình nhưng lưu ý đến chiều biến thiên của hàm số. Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau: a) 5 x 2log x log 125 1 b) 2 1 2 2 log x 6log x 8 0. Lời giải: a) ĐK: x 0 x 1 BPT 2 5 3 2log x log x 3 2log x 1 0 log x log x. Đặt 2 5 5 t 1 log x 1 1 2t t 3 x t log x 0 3 3 5 t 0 t 0 log x 2 2 1 x 55. Vậy tập nghiệm của BPT là: 1 S 0 1 5. b) ĐK: x 0. Khi đó 2 2 log x 6log x 8 0 2 log x 4 4 x 16. Vậy tập nghiệm của BPT là: S 4 16.
Ví dụ 2: Giải các bất phương trình sau: a) 7 7 1 log x log x 2 2 b) x 2 2x 1 log 2 (2 log x) log 2. Lời giải a) ĐK: x 0. Khi đó: BPT 7 7 1 1 log x log x 2 log x log x 2 2 2 1 log x 2 log x 4 0 x 7. Vậy tập nghiệm của BPT là: 4 0x7 b) ĐK: x 0 x 1 1 x 2. Khi đó: BPT ⇔ log 2 2 log x log 2x 1 log x x 22 2. Đặt 2 t log x ta có: 2 1 2 t t1 t t 2 0t 2. Với 0t 2 2 2 ⇔ 0 log x 2 1 x 2. Với t 2 2 2 log x 2 0 x 2. Vậy tập nghiệm của BPT là: 2 2 x 0 2 1 2.
Ví dụ 3: Số nghiệm nguyên của bất phương trình 2 x log x 2log 4 3 0 là: A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 Lời giải ĐK: x 0 x 1 BPT ⇔ 2 4 log x 3log x 4 log x 0 x 1 log x 3 0 0 log x log x 1 log x 3 2 x 8. Vậy tập nghiệm của BPT là: S 0 1 2 8. Kết hợp x ⇒ BPT có 5 nghiệm nguyên. Chọn A. Ví dụ 4: Gọi S là tập hợp số nguyên x thuộc khoảng (0;10) và thỏa mãn bất phương trình 2 2 23 log x 7 log 3 log x 6 0. Tổng các phần tử tập hợp S là: A. T = 3 B. T = 33 C. T = 44 D. T = 54.
Lời giải: ĐK: x 0. BPT 2 2 log x 6 x 64 log x 7log x 6 0 log x 1 0 x 2. Kết hợp x x 12 T 3 x 10. Chọn A. Ví dụ 5: Gọi S là tập hợp số nguyên x thỏa mãn 2 3 3 log x 2log 3x 1 0. Tổng các phần tử của tập hợp S là: A. T = 351 B. T = 27 C. T = 378 D. T = 26. Lời giải: Điều kiện: x 0. BPT 2 3 3 ⇔ log x 2 log x 1 1 0 2 1 log x 2log x 3 0 1 log x 3 x 27 3. Kết hợp x ⇒ cấp số cộng có 1 u 1 d 1. Chọn C. Ví dụ 6: Số nghiệm nguyên của bất phương trình 2 2 9 3 log 3x 4x 2 1 log 3x 4x 2 là: A. 5 B. 2 C. 4 D. 3.
Lời giải: Ta có BPT 2 2 3 3 1 log 3x 4x 2 1 log 3x 4x 2. Đặt 2 3 1 t log 3x 4x 2 t 0 2 ta có: 2 2 1 t 1 2t 2t t 1 0 t 1. Do đó 2 2 3x 4x 2 1 3x 4x 1 0 0 log 3x 4x 2 2 3x 4x 2 9 3x 4x 7 0. Vậy nghiệm của BPT là 1 7 x 1 3 3. Kết hợp x x 0 1 2 1 BPT có 4 nghiệm nguyên. Chọn C. Ví dụ 7: Số nghiệm nguyên của bất 2 4 4 log x 1 3 2log x 1 4 0 là: A. 2 B. 3 C. 4 D. Vô số. Lời giải: Điều kiện: 4 x10 x 2 log x 1 0. BPT ⇔ 2log x 1 3 2log x 1 4 0 4 4. Đặt t 2log x 1 t 0 4 ta có: 1 t 3t 4 0 4 t 1 0 t 1 0 log x 1 2 x 3 2.
Kết hợp x ⇒ x 2 3 BPT có 2 nghiệm nguyên. Chọn A. Ví dụ 8: Tập nghiệm của bất phương trình 2 2 log x 3 2 log x 3 là: Lời giải: ĐK: x 0 1 x 8. Đặt 2 t log x ta có: 2 2 t 3 t 2t 3 t 3 2 0 t3 t3 3t 1 +) Với t 3 2 ⇔ log x 3 x 8 +) Với 3t 1 ta có: 2 1 1 3 log x 1 x 8 2 ⇔ Vậy tập nghiệm của BPT là: 1 1 S 8 8 2. Chọn C.