Giải bài toán vòi nước bằng cách lập hệ phương trình

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 9 bài viết Giải bài toán vòi nước bằng cách lập hệ phương trình, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 9.

Nội dung bài viết Giải bài toán vòi nước bằng cách lập hệ phương trình:
Phương pháp giải: VÍ DỤ 8. Một máy bơm muốn bơm nước đầy bể trong một thời gian quy định thì mỗi giờ phải bơm 10m3. Sau khi bơm được 1 3 bể, người công nhân vận hành máy cho hoạt động với công suất 15m3/h. Do vậy, so với quy định bể được bơm đầy trước 48 phút. Tính thể tích của bể. LỜI GIẢI. Ta thực hiện đổi đơn vị 48 phút = 48 60 = 12 15 giờ. Gọi x (giờ) là thời gian quy định để bơm đầy bể, điều kiện x > 0. Gọi y (m3) là thể tích của bể, điều kiện y > 0. Với giả thiết: Muốn bơm đầy nước vào bể trong thời gian x mỗi giờ phải bơm 10m3, ta được: 10x = y. (1) Sau khi bơm được 1 3 bể (tức bơm được y 3 m3 và tốn y 3 · 10 giờ và còn lại 2y 3 m3), người công nhân vận hành máy cho hoạt động với công suất 15m3/h (tức là tốn 2y 3 · 15 giờ). Do vậy, so với quy định bể được bơm đầy trước 48 phút (tức là mất x − 12 15), ta được: y 3 · 10 + 2y 3 · 15 = x − 12 15 ⇔ 90x − 7y = 72. (2) Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình: (10x = y 90x − 7y = 72 ⇔ (x = 3.6 y = 36, thỏa mãn điều kiện. Vậy thể tích của bể bằng 36m3. 4! Nhận xét: Như vậy, trong lời giải của ví dụ trên ta thấy: 1 Cho dù bài toán chỉ yêu cầu tính “Tính thể tích của bể ”, tương ứng với một ẩn, xong chúng ta lại lựa chọn hai ẩn (một ẩn được đề xuất) để chuyển bài toán về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
Khi đó: Phương trình (1) được thiết lập dựa trên quy định chung. Phương trình (2) được thiết lập dựa trên việc thực hiện bơm trong thực tế. 2 Để học sinh tiện so sánh, sau đây sẽ là lời giải khi ta lựa chọn hướng lập phương trình: Gọi thể tích của bể là x (m3), điều kiện x > 0. Suy ra Thời gian dự định để bơm đầy bể là x 10. Với 1 3 bể (bằng x 3) bơm theo quy định mỗi giờ phải bơm 10m3 nên mất x 3 · 1 10 = x 30 (giờ.) Với 2 3 bể còn lại (bằng 2x 3), công suất của máy là 15m3/h nên mất 2x 3 · 1 15 = 2x 45 (giờ). Vậy thời gian thực tế để bơm đầy bể là x 30 + 2x 45. Vì so với quy định bể được bơm đầy trước 48 phút nên ta có phương trình: x 10 − x 30 + 2x 45ã = 12 15 ⇔ 2x = 72 ⇔ x = 36, thỏa mãn. Vậy thể tích của bể nước là 36m3. VÍ DỤ 9. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể nước cạn (không có nước) thì sau 4 4 5 giờ đầy bể. Nếu lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất và 9 giờ sau mới mở thêm vòi thứ hai thì sau 6 5 giờ nữa mới đầy bể. Hỏi nếu ngay từ đàu chỉ mở vòi thứ hai thì sau bao lâu sẽ đầy bể. LỜI GIẢI. Gọi x và y là thời gian để vòi thứ nhất và vòi thứ hai chảy một mình thì đầy bể (x > 0, y > 0, đơn vị giờ). Do đó: Trong 1 giờ vòi thứ nhất chảy được 1 x phần của bể. Trong 1 giờ vòi thứ hai chảy được 1 y phần của bể. Trong 1 giờ cả hai vòi chảy được 1 x + 1 y phần của bể. Hai vòi cùng chảy thì trong 4 4 5 = 24 5 giờ sẽ đầy bể, nên mỗi giờ hai vòi chảy được 1 : 24 5 = 5 24 (bể).
Do đó, ta có phương trình 1 x + 1 y = 5 24. (1) Nếu lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất và 9 giờ sau mới mở thêm vòi thứ hai thì sau 6 5 giờ nữa mới đầy bể. Do đó, ta có phương trình 9 x + 5 24 · 6 5 = 1. (2) Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình 1 x + 1 y = 5 24 9 x + 5 24 · 6 5 = 1 ⇔ 1 x + 1 y = 5 24 9 x + 1 4 = 1 ⇔ 1 x + 1 y = 5 24 36 + x = 4x ⇔ (y = 8 x = 12. Vậy nếu vòi thứ hai chảy một mình thì sau 8 giờ sẽ đầy bể. VÍ DỤ 10. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 1 giờ 20 phút sẽ đầy. Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 10 phút và vòi thứ hai chảy trong 12 phút thì đầy 2 15 bể. Hỏi mỗi vòi chảy một mình thì sau bao lâu mới đầy bể? LỜI GIẢI. Ta có thể lựa chọn một trong hai cách trình bày sau: Cách 1: Thiết lập ẩn thông qua giá trị cần tìm. Gọi x là thời gian để vòi I chảy một mình cho đầy bể, điều kiện x > 0. Suy ra, mỗi giờ vòi I chảy được 1 x bể. Gọi y là thời gian để vòi II chảy một mình cho đầy bể, điều kiện y > 0. Suy ra, mỗi giờ vòi II chảy được 1 y bể. Ta thực hiện đổi đơn vị: 1 giờ 20 phút = 1 + 20 60 = 4 3 giờ; 10 phút = 1 6 giờ; 12 phút = 1 5 giờ. Với giả thiết: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 1 giờ 20 phút sẽ đầy, ta được 4 3 1 x + 1 y ã = 1 ⇔ 1 x + 1 y = 3 4. (1) Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 10 phút và vòi thứ hai chảy trong 12 phút thì đầy 2 15, ta được 1 6 · 1 x + 1 5 · 1 y = 2 15 ⇔ 1 6x + 1 5y = 2 15. (2) Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình: 1 x + 1 y = 3 4 1 6x + 1 5y = 2 15 ⇔ 6 6x + 5 5y = 3 4 1 6x + 1 5y = 2 15 (I) Đặt u = 1 6x v = 1 5y. Khi đó, hệ có dạng 6u + 5v = 3 4 u + v = 2 15 ⇔ u = 1 12 v = 1 20 ⇔ 1 6x = 1 12 1 5y = 1 20 ⇔ (x = 2 y = 4.
Vậy vòi I chảy trong 2 giờ sẽ đầy bể, vòi II chảy trong 4 giờ sẽ đầy bể. Cách 2: Thiết lập ẩn thông qua giá trị trung gian. Giả sử mỗi giờ vòi I chảy được x phần bể, điều kiện x > 0. Giả sử mồi giờ vòi II chảy được y phần bể, điều kiện y > 0. Với giả thiết: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 1 giờ 20 phút sẽ đầy, ta được 4 3 (x+y) = 1 ⇔ 4x + 4y = 3. (3) Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 10 phút và vòi thứ hai chảy trong 12 phút thì đầy 2 15 bể, ta được 1 6 · x + 1 5 · y = 2 15 ⇔ 5x + 6y = 4. (4) Từ (3) và (4), ta có hệ phương trình (4x + 4y = 3 5x + 6y = 4 ⇔ x = 1 2 y = 1 4. Vậy vòi I chảy trong 2 giờ sẽ đầy bể, vòi II chảy trong 4 giờ sẽ đầy bể. 4! Nhận xét: Như vậy, thông qua hai cách giải của ví dụ trên ta thấy: 1 Với cách 1, việc lựa chọn ẩn thông qua các giá trị cần tìm giúp cho cách đặt vấn đề khá tường mình. Tuy nhiên, chúng ta lại phải đối mặt với một hệ phức tạp (ở đó cần sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải). 2 Với cách 2, việc lựa chọn ẩn thông qua giá trị trung gian cần có được những kiến thức đánh giá đúng đắn, xong sẽ giúp chúng ta thu được 1 hệ đơn giản.