VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.
Nội dung bài viết Giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học:
Dạng 1: Phương pháp hình học. 1. Phương pháp giải: Ví dụ: Cho số phức z thỏa mãn giá trị nhỏ nhất của z = i + 3 bằng? Hướng dẫn giải: Bước 1: Chuyển đổi ngôn ngữ bài toán số phức. Giả sử z = x + yi. Khi đó bất đẳng thức tam giác. Các bất đẳng thức thường dùng sang ngôn ngữ hình học. Gọi M(x;y) lần lượt là điểm biểu diễn cho số phức z = i. Bước 2: Sử dụng một số kết quả đã biết để giải bài toán hình học. Parabol y = x có đỉnh tại điểm O(0;0), trục đối xứng là đường thẳng x = 0. Hơn nữa, điểm A thuộc trục đối xứng của parabol, nên ta có: MA + OA = 3. Suy ra, min MA = 3 khi M trùng O. Bước 3: Kết luận cho bài toán số phức.
2. Bài tập mẫu Bài tập 1: Cho số phức z thỏa mãn z i 34. Môđun lớn nhất của số phức z bằng? Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn giả thiết là đường tròn tâm I(3;4), bán kính r = 1. Mặt khác z OM. Mà OM đạt giá trị lớn nhất bằng OI = r khi M là giao điểm của đường thẳng OM với đường tròn tâm I(3;4). Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường thẳng d. Do đó z thuộc OM nhỏ nhất khi M là hình chiếu của O trên d. Nhận xét: Trong tất cả các đoạn thẳng kẻ từ điểm O đến đường thẳng d, đoạn vuông góc OM ngắn nhất. Theo công thức trung tuyến thì MF MF F F z. Vậy giá trị nhỏ nhất của z bằng 4. Với mọi điểm M nằm trên elip, đoạn OM ngắn nhất là đoạn nối O với giao điểm của trục bé với elip.
Bài tập 5: Cho z là số phức thay đổi thỏa mãn z z 2. Trong mặt phẳng tọa độ gọi M, N là điểm biểu diễn số phức z và z. Giá trị lớn nhất của diện tích tam giác OMN là? Theo giả thiết ta có tập hợp điểm M thỏa điều kiện trên là elip có trục lớn? Ta gọi A B lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức 1 2 z z. Bài tập 8: Cho số phức z thỏa mãn z iz. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z i bằng? Khi H là giao điểm của đường thẳng AB và đường thẳng đi qua điểm C và vuông góc với AB.