VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 8 bài viết Giải bài toán bằng cách lập phương trình, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 8.
Nội dung bài viết Giải bài toán bằng cách lập phương trình:
Bước 1. Lập phương trình Chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn. Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết. Lập phương trình biểu thị sự tương quan của các đại lượng. Bước 2. Giải phương trình. Bước 3. Chọn kết quả thích hợp và trả lời. VÍ DỤ 1. Vào thế kỷ thứ III trước công nguyên, vua xứ Xi-ra-cút giao cho Ac-si-met kiểm tra xem chiếc mũ bằng vàng của mình có pha thêm bạc hay không. Chiếc mũ có trọng lượng 5 niutơn (theo đơn vị hiện nay), khi nhúng ngập trong nước thì trọng lượng giảm đi 0,3 niutơn. Biết rằng khi cân trong nước, vàng giảm 1 20 trọng lượng, bạc giảm 1 10 trọng lượng. Hỏi chiếc mũ chứa bao nhiêu gam bạc? (vật có khối lượng 100 gam thì trọng lượng bằng 1 niutơn). LỜI GIẢI. Gọi trọng lượng bạc trong mũ là x (niutơn) (0 < x < 5). Trọng lượng vàng trong mũ là 5−x (niutơn). Khi nhúng ngập trong nước, trọng lượng bạc giảm x 10 (niutơn), trọng lượng vàng giảm 5 − x 10 (niutơn). Ta có phương trình x 10 + 5 − x 20 = 0,3 x = 1 Trọng lượng bạc trong mũ là 1 niutơn. Chiếc mũ chứa 100 gam bạc. 4! Khi giải toán bằng cách lập phương trình, ngoài ẩn đã chọn, đôi khi người ta còn biểu thị những đại lượng chưa biết khác bằng chữ. Điều lý thú là các chữ dó tuy tham gia vào quá trình giải bài toán nhưng chúng lại không có mặt trong đáp số của bài toán. Ta xét ví dụ dưới đây: VÍ DỤ 2. Một người đi một nửa quãng đường AB với vận tốc 20 km/h, và đi phần còn lại với vận tốc 30 km/h.
Tính vận tốc trung bình của người đó trên toàn bộ quãng đường. LỜI GIẢI. Gọi vận tốc trung bình phải tìm là x (km/h), (x > 0). Ta biểu thị một nửa quãng đường AB là a km (a > 0). Thời gian người đó đi nửa đầu của quãng đường là a 20 giờ, thời gian đi nửa quãng đường là a 30 giờ. Ta có phương trình a 20 + a 30 = 2a x. Giải phương trình trên, ta được 1 20 + 1 30 = 2 x x = 24 Vận tốc trung bình là 24 km/h. Lưu ý: 1 Nếu vận tốc trên nửa đầu của quãng đường là a km/h, vận tốc trên nửa sau là b km/h thì vận tốc trung bình trên cả quãng đường bằng 2 1 a + 1 b km/h. Đại lượng này được gọi là trung bình điều hòa của a và b. 2 Trung bình điều hào của hai số dương a và b nhỏ hơn hoặc bằng trung bình cộng của hai số ấy. Thật vậy 2 1 a + 1 b = 2ab a + b ≤ a + b 2 vì 4ab ≤ (a + b) 2. 1. Bài tập tự luyện BÀI 1. Hỡi khách qua đường, cho hay Đi-ô-phăng thọ bao nhiêu tuổi? Biết thời thơ ấu của ông chiếm 1 6 cuộc đời. 1 12 cuộc đời tiếp theo là thời thanh niên sôi nổi. Đến khi lập gia đình thì lại thêm 1 7 cuộc đời. 5 năm nữa trôi qua, và một cậu con trai đã được sinh ra. Nhưng số mệnh buộc con chỉ sống bằng nửa đời cha. Ông đã từ trần 4 năm sau khi con mất. Đi-ô-phăng thọ bao nhiêu hãy tính cho ra? LỜI GIẢI. Gọi số tuổi của Đi-ô-phăng là x, (x > 0). Khi đó, ta có phương trình: x 6 + x 12 + x 7 + 5 + x 2 + 4 = x Giải ra ta được x = 84. vậy Đi-ô-phăng thọ 84 tuổi. BÀI 2. Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, biết rằng nếu viết thêm một chữ số 1 vào đằng trước và một chữ số 1 vào đằng sau thì số đó tăng gấp 21 lần. LỜI GIẢI. Gọi số tự nhiên có bốn chữ số là x = abcd, (x > 0).
Sau khi thêm chữ số 1 vào đằng trước và chữ số 1 vào đằng sau thì số mới là: 1abcd1, có giá trị là 100001 + 10 · abcd = 100001 + 10x. Theo đề bài ta có phương trình 100001 + 10x = 21x. Giải ra ta được x = 9091. Vậy số cần tìm là 9091. BÀI 3. Tìm một số tự nhiên có sáu chữ số, biết rằng chữ số tận cùng của nó bằng 4 và nếu chuyển chữ số 4 đó lên vị trí chữ số đầu tiên thì số phải tìm tăng gấp 4 lần. LỜI GIẢI. Gọi số tự nhiên có sáu chữ số cần tìm là x = abcde4, (x > 0). Sau khi chuyển chữ số 4 lên vị trí đầu tiên, ta được số mới là 4abcde có giá trị là abcde4 − 4 10 + 400000 = x − 4 10 + 400000. Theo đề bài ta có phương trình x − 4 10 + 400000 = 4x. Giải ra ta được x = 102564. Vậy số tự nhiên cần tìm là 102564. BÀI 4. Tính tuổi của hai mẹ con hiện nay, biết rằng cách đây 4 năm thì tuổi mẹ gấp 5 lần tuổi con, sau đấy 2 năm thì tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi con. LỜI GIẢI. Gọi số tuổi của mẹ hiện nay là x, (x > 0). Cách đây 4 năm, số tuổi của mẹ là x − 4. Theo đề bài, ta có tuổi của con 4 năm trước là x − 4 5. Số tuổi của con sau 2 năm nữa (đối với hiện tại) là x − 4 5 + 4 + 2 và số tuổi của mẹ sau 2 năm nữa (đối với hiện tại) là x + 2. Theo đề bài, ta lại có x − 4 5 + 4 + 2 = x + 2 3 Giải ra ta được x = 34. Vậy tuổi của mẹ là 34 và tuổi của con là 10. BÀI 5. Một hình chữ nhật có chu vi bằng 320 m. Nếu tăng chiều dài 10 m, tăng chiều rộng 20 m thì diện tích tăng 2700 m2. Tính độ dài mỗi chiều.
LỜI GIẢI. Gọi chiều dài hình chữ nhật là x (m), (160 > x > 0) từ đó suy ra chiều rộng là 320 2 − x = 160 − x. Sau khi tăng chiều dài và chiều rộng, diện tích của hình chữ nhật mới là (x + 10)(160 − x + 20). Theo đề bài ta có (x + 10)(160 − x + 20) = x(160 − x) + 2700. Giải ra ta được x = 90. Vậy chiều dài hình chữ nhật là 90 m, chiều rộng hình chữ nhật là 70 m. BÀI 6. Một ca nô tuần tra đi xuôi khúc sông từ A đến B hết 1 giờ 10 phút và đi ngược dòng từ B về A hết 1 giờ 30 phút. Tính vận tốc riêng của ca nô, biết rằng vận tốc dòng nước là 2 km/h. LỜI GIẢI. Gọi vận tốc riêng của ca nô là x(km/h),(x > 0), suy ra vận tốc của ca nô khi xuôi dòng là x + 2, khi ngược dòng là x − 2. Đổi đơn vị: 1 giờ 10 phút = 7 6 giờ, 1 giờ 30 phút = 3 2 giờ. Vì quãng đường đi và về là như nhau nên ta có 7 6 (x + 2) = 3 2 (x − 2). Giải ra ta được x = 16. Vậy vận tốc riêng của ca nô là 16 km/h. BÀI 7. Một người đi từ A đến B với vận tốc 24 km/h rồi đi tiếp từ B đến C với vận tốc 32 km/h. Tính quãng đường AB và BC, biết rằng quãng đường AB dài hơn quãng đường BC là 6 km và vận tốc trung bình của người đó trên cả quãng đường AC là 27 km/h. LỜI GIẢI. Gọi quãng đường AB là x (km) (x > 6). Quãng đường BC là x − 6. Thời gian người đó đi hết đoạn đường AB là x 24, thời gian đi hết đoạn đường BC là x − 6 32, thời gian đi hết đoạn đường AC là x + x − 6 27. Theo đề bài ta có phương trình x + x − 6 27 = x 24 + x − 6 32.
Giải ra ta được x = 30. Vậy quãng đường AB dài 30 km, quãng đường BC dài 24 km. BÀI 8. Quãng đường từ A đến B gồm đoạn lên dốc AC, đoạn nằm ngang CD, đoạn xuống dốc DB, tổng cộng dài 30 km. Một người đi từ A đến B rồi từ B về A hết tất cả 4 giờ 25 phút. Tính quãng đường nằm ngang, biết rằng vận tốc lên dốc (cả lúc đi lẫn lúc về) là 10 km/h, vận tốc xuống dốc (cả lúc đi lẫn lúc về) là 20 km/h, vận tốc trên đường nằm ngang là 15 km/h. LỜI GIẢI. Gọi độ dài quãng đường AC, CD, DB lần lượt là a, x, b (km), (a, x, b > 0). Xét lúc đi từ A đến B, thời gian người đó đi lên dốc AC là a 10, đi trên đoạn nằm ngang CD là x 15, đi xuống dốc DB là b 20. Xét lúc đi từ B về A thời gian người đó đi lên dốc DB là b 10, đi trên đoạn nằm ngang CD là x 15, đi xuống dốc AC là a 20. Đổi đơn vị 4 giờ 25 phút = 53 12. Thời gian đi từ A đến B trở về A là a 10 + x 15 + b 20 + b 10 + x 15 + a 20 = 53 12 ⇔ a + b 10 + a + b 20 + 2x 15 = 53 12 ⇔ 30 − x 10 + 30 − x 20 + 2x 15 = 53 12. Giải ra ta được x = 5. Vậy độ dài quãng đường nằm ngang là 5 km. BÀI 9. Lúc 8 giờ, An rời nhà mình để đến nhà Bích với vận tốc 4 km/h. lúc 8 giờ 20 phút, Bích cũng rời nhà mình đến nhà An với vận tốc 3 km/h. An gặp Bích trên đường, rồi cả hai cùng đi về nhà Bích. Khi trở về đến nhà mình, An tính ra quãng đường mình đã đi dài gấp bốn lần quãng đường Bích đã đi. Tính khoảng cách An đến nhà Bích. LỜI GIẢI. Gọi quãng đường từ nhà An đến nhà Bích là x (km), (x > 0). Vì An đến nhà Bích, rồi quay trở về lại nhà mình, nên quãng đường An đã đi là 2x. Suy ra quãng đường Bích đi là x 2 và quãng đường Bích đi từ nhà mình đến nơi hai người gặp nhau là x 4. Do đó, quãng đường An đi từ nhà mình đến nơi hai người gặp nhau là 3x 4. Thời gian An đi từ nhà mình đến nơi hai người gặp nhau 3x 4 4. Thời gian Bích đi từ nhà mình đến nơi hai người gặp nhau x 4 3. An đi sớm hơn Bích 20 phút = 1 3 giờ nên ta có phương trình 3x 4 4 = x 4 3 + 1 3 Giải ra ta được x = 3,2. Vậy quãng đường từ nhà An đến nhà Bích dài 3,2 km.