Dựng cung chứa góc α (0◦ < α < 180◦) trên đoạn thẳng AB = a cho trước

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 9 bài viết Dựng cung chứa góc α (0◦ < α < 180◦) trên đoạn thẳng AB = a cho trước, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 9.

Nội dung bài viết Dựng cung chứa góc α (0◦ < α < 180◦) trên đoạn thẳng AB = a cho trước: Phương pháp giải: Phương pháp Ta lần lượt thực hiện: Dựng đoạn AB = a và đường trung trực Iz của AB. Dựng tia Ax sao cho xAB = α. Dựng tia Ay vuông góc với tia Ax cắt Iz tại O. Dựng đường tròn (O, OA) và chỉ lấy phần cung cùng phía với O, kí hiệu là AmB. Lấy đối xứng cung AmB qua AB được cung Am˙1B. Vậy, hai cung AmB và Am˙1B là cung chứa góc cần dựng. O A B I y z m m1 x α Nhận xét. 1 Như vậy, nếu chỉ với yêu cầu dựng cung chứa góc chúng ta chỉ cần trình bày phần cách dựng. Tuy nhiên với bài toán sử dụng cung chứa góc để dựng hình (ví dụ như dựng tam giác...) chúng ta cần trình bày đủ bốn bước. 2 Trong trường hợp đặc biệt với α = 90◦, chúng ta đã biết được cách dựng đơn giản hơn nhiều, đó là đường tròn đường kính AB. VÍ DỤ 1. Dựng cung chứa góc 60◦ trên đoạn AB = 4 cm. LỜI GIẢI. Ta lần lượt thực hiện: Dựng đoạn AB = 4cm và đường trung trực Iz của AB. Dựng tia Ax sao cho xAB = 60◦. Dựng tia Ay vuông góc với Ax cắt Iz tại O. Dựng đường tròn (O, OA) và chỉ lấy phần cung cùng phía với O, kí hiệu là AmB. Lấy đối xứng cung AmB qua AB được cung Am˙1B. Vậy, hai cung AmB và Am˙1B là cung chứa góc cần dựng. O A B I y z m m1 x α VÍ DỤ 2 (Bài 49/tr 87 - Sgk). Dựng 4ABC, biết BC = 6 cm, Ab = 40◦ và đường cao AH = 4 cm. LỜI GIẢI. Phân tích: Giả sử dựng được 4ABC thoả mãn điều kiện: BC = 6 cm, Ab = 40◦, AH = 4 cm. Khi đó, điểm A nằm ngoài đường thẳng d song song với đường tròn BC và cách BC 4 cm. Mặt khác, BAC = 40◦ nên A nằm trên cung chứa góc 40◦ dựng trên BC. Cách dựng: Dựng đoạn thẳng BC = 6 cm. Dựng cung chứa góc 40◦ trên đoạn thẳng BC. Dựng đường thẳng d song song với BC và cách BC một khoảng bằng 4 cm, như sau: Dựng đường trung trực (∆) của BC, gọi I là giao điểm của (∆) với BC, trên (∆) lấy điểm K sao cho IK = 4 cm. Dựng đường thẳng d vuông góc với (∆) tại K. Gọi giao điểm của (d) và cung chứa góc là A và A0. Khi đó, hai tam giác ABC và A0BC đều thoả mãn yêu cầu bài toán. 40◦ ∆ d K I C A H H0 A0 O B Chứng minh: Ta có ngay BC = 6 cm vì theo cách dựng. Các góc Ab và A“0 đều bằng 40◦ do A, A0 nằm trên cung chứa góc 40◦ dựng trên đoạn BC. Các hình AHIK và A0HIK là các hình chữ nhật nên AH = A0H = IK = 4 cm. Biện luận: Ta dựng được hai tam giác ABC và A0BC thoả điều kiện đề bài nhưng hai tam giác này bằng nhau (đối xứng nhau qua IK) nên bài toán chỉ có một nghiệm hình. VÍ DỤ 3. Dựng 4ABC biết BC = a, Ab = α (0◦ < α < 180◦) và đường cao BH = h với h < a. LỜI GIẢI. Phân tích: Giả sử đã dựng được 4ABC thoả mãn điều kiện đầu bài, ta thấy: 1 Cạnh BC = a dựng được ngay. 2 Điểm H thoả mãn hai điều kiện: H nằm trên đường tròn đường kính BC. H nằm trên đường tròn (B, h). Vậy H là giao điểm của hai đường tròn đó. 3 Điểm A thoả mãn hai điều kiện: A nằm trên cung chứa góc α dựng trên đoạn thẳng BC. A nằm trên tia CH. Vậy A là giao điểm của tia CH với cung chứa góc α. A B H C a h α Cách dựng: Ta lần lượt thực hiện: Dựng đoạn BC = a. Dựng cung chứa góc α dựng trên đoạn thẳng BC. Dựng đường tròn đường kính BC. Dựng đường tròn (B, h) cắt đường tròn đường kính BC tại H. Tia CH cắt cung chứa góc α tại A. Nối AB ta được 4ABC phải dựng. A A0 B H C a h α H0 α Chứng minh: Ta có ngay: BC = a theo cách dựng. Ab = α vì A nằm trên cung chứa góc α dựng trên đoạn thẳng BC. BH = h vì H thuộc đường tròn (B, h). BHC = 90◦ ⇒ BH = h là đường cao của 4ABC. Vậy, ∆ABC thoả mãn điều kiện đầu bài. Biện luận: Ta dựng được hai 4ABC và 4A0BC thảo mãn điều kiện đề bài, nhưng hai tam giác này bằng nhau (đối xứng qua BC) nên bài toán chỉ có một nghiệm hình (bài toán này là bài toán dựng hình về kích thước). Nhận xét. 1 Qua ví dụ trên ta thấy giải một bài toán dựng hình thường được quy về việc xác định một điểm thoả mãn hai điều kiện. Điểm cần xác định là giao của hai quỹ tích (cũng có khi là giao của một quỹ tích với một đường thẳng hoặc một đường tròn cho trước). Số nghiệm hình của bài toán phụ thuộc vào số giao điểm của hai quỹ tích. Phương pháp dựng hình như vậy gọi là phương pháp quỹ tích tương giao. 2 Nếu thay giả thiết đường cao BH = h bằng đường cao AH = h, khi đó A thuộc đường thẳng song song với BC và cách BC môt khoảng bằng h, và trong trường hợp này bài toán có thể vô nghiệm hình, có một nghiệm hình hoặc hai nghiệm hình, vì nó phụ thuộc vào số giao điểm của đường thẳng với cung chứa góc. B C A1 A0 A2 H1 H0 H2 α α α h h 3 Nếu thay giả thiết đường cao BH = h bằng đường trung tuyến AM = m, khi đó A thuộc đường tròn (M, m) với M là trung điểm BC, và trong trường hợp này bài toán có thể vô nghiệm hình, vì nó phụ thuộc vào số giao điểm của đường tròn với cung chứa góc.