Dựa vào bảng biến thiên và đồ thị để biện luận số nghiệm của phương trình

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Dựa vào bảng biến thiên và đồ thị để biện luận số nghiệm của phương trình, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Dựa vào bảng biến thiên và đồ thị để biện luận số nghiệm của phương trình:
Dạng 1: Dựa vào bảng biến thiên và đồ thị để biện luận số nghiệm của phương trình Bài toán: Biện luận số nghiệm của phương trình: F xm theo tham số m dựa vào đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số y = f(x). Phương pháp giải: Bước 1: Biến đổi phương trình F(x;m) = 0 về dạng f x gm. Bước 2: Vẽ đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số y fxC và đường thẳng d y gm. Đường thẳng d có đặc điểm vuông góc với trục tung và cắt trục tung tại điểm có tung độ g m. Bước 3: Dựa vào đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số để biện luận số nghiệm của phương trình đã cho.
Ví dụ 1: Cho hàm số 4 2 yx x 2 có đồ thị như hình bên. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 4 2 x xm 2 có bốn nghiệm thực phân biệt? Lời giải Số nghiệm của phương trình phụ thuộc vào số giao điểm của đồ thị hàm số 4 2 yx x 2 và đường thẳng y m. Dựa vào hình vẽ suy ra phương trình đã cho có 4 nghiệm khi 0 1 m. Chọn C. Ví dụ 2: [Đề thi tham khảo THPT QG năm 2019] Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau x −∞ −2 0 2 +∞ f x − 0 + 0 − 0 + f x +∞ 1 +∞ −2 −2. Số nghiệm thực của phương trình 2 30 f x là A. 4 B. 3 C. 2 D. 1.
Lời giải Số nghiệm thực của phương trình 3 3 0 2 fx fx chính là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và đường thẳng 3 2 y. Đường thẳng 3 2 y cắt đồ thị hàm số y = f(x) tại 4 điểm phân biệt. Vậy phương trình 2 30 f x có đúng 4 nghiệm thực phân biệt. Chọn A. Ví dụ 3: Cho hàm số 3 2 y ax bx cx d có đồ thị trong hình bên. Hỏi phương trình 3 2 ax bx cx d 0 có bao nhiêu nghiệm? A. Phương trình không có nghiệm. B. Phương trình có đúng 1 nghiệm. C. Phương trình có đúng 2 nghiệm. D. Phương trình có đúng 3 nghiệm.
Lời giải Số nghiệm của phương trình đã cho phụ thuộc vào số giao điểm của đồ thị hàm số 3 2 y ax bx cx d C và đường thẳng y = −1. Dựa vào đồ thị ta thấy (C) cắt đường thẳng y = −1 tại 3 điểm phân biệt nên phương trình đã cho có 3 nghiệm. Chọn D. Ví dụ 4: Tìm tất cả các giá trị m để phương trình 3 x xm 3 2 có 3 nghiệm phân biệt. Lời giải: Phương trình 3 x xm 3 2 là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số 3 yx x 3 và đường thẳng y m 2. Phương trình có 3 nghiệm phân biệt khi hai đồ thị có ba giao điểm. Khi đó 22 2 1 1 m m. Chọn B.
Ví dụ 5: [Đề thi THPT QG năm 2018] Cho hàm số 3 2 f x ax bx cx d a b c d. Đồ thị của hàm số y = f(x) như hình vẽ. Số nghiệm thực của phương trình 3 40 f x là: A. 3 B. 0 C. 1 D. 2 Lời giải Ta có: 4 3 40 3 fx fx. Số nghiệm của phương trình 4 3 f x là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và đường thẳng 4 3 y. Dựa vào đồ thị hàm số suy ra phương trình 4 3 f x có 3 nghiệm phân biệt. Chọn A. Ví dụ 6: Cho hàm số 3 2 y fx x 232 có bảng biến thiên như sau x −∞ 0 1 +∞ y′ + 0 − 0 + y 2 +∞ −∞ 1. Giá trị của tham số m để phương trình 3 2 3 2 10 2 x xm có 3 nghiệm phân biệt là?
Lời giải Ta có: PT 3 2 3 2 2 3 4 20 2 3 2 44 1 xxm xx m. Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng dy m 44. Do vậy phương trình (1) có đúng 3 nghiệm khi d cắt (C) tại đúng 3 điểm phân biệt 1 3 144 2 2 4 m m. Chọn A. Ví dụ 7: Cho hàm số 4 2 y fx x 2 2 có bảng biến thiên như sau x −∞ −1 0 1 +∞ y′ − 0 + 0 − 0 + y +∞ 2 +∞ 1 1. Số giá trị nguyên của m để phương trình 4 2 2 4 50 x xm có đúng 2 nghiệm A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 Lời giải Ta có: PT 4 2 5 9 4 2 2 m m xx. Số nghiệm của phương trình (2) là số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng 9 2 m y.
Do vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm ⇔ d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt 9 1 2 7 9 5 2 2 m m. Kết hợp m m {1;2;3;4;5;7}. Chọn D. Ví dụ 8: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đường thẳng y m cắt đồ thị hàm số 3 yx x 3 1 tại 3 điểm phân biệt, trong đó có đúng hai điểm phân biệt có hoành độ dương. Lời giải Ta có đồ thị hai hàm số như hình bên. Đường thẳng y m cắt đồ thị hàm số 3 yx x 3 1 tại 3 điểm phân biệt, trong đó có đúng hai điểm phân biệt có hoành độ dương khi và chỉ khi 1 1 m. Chọn C.