Định lý Thales trong không gian

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Định lý Thales trong không gian, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.

Nội dung bài viết Định lý Thales trong không gian:
Dạng 04. ĐỊNH LÝ THALES TRONG KHÔNG GIAN. Phương pháp giải Tìm 2 đường thẳng chéo nhau trên đó có các đoạn thẳng tỉ lệ. Bài 01. Cho tứ diện ABCD, M là một điểm lưu động trên cạnh AB; N là điểm lưu động trên cạnh CD. Chứng tỏ rằng trung điểm I của đoạn MN thuộc một mặt phẳng cố định. Lời giải: Kẻ IK AB K là trung điểm BN (do I là trung điểm MN). Qua K kẻ đường thẳng song song với CD cắt BC tại P cắt BD tại Q P là trung điểm BC Q là trung điểm BD P Q cố định.
Kẻ hình bình hành BEDC BE CD PQ PQ ABE IK AB IK ABE QI ABE. Do ABE là mặt phẳng cố định PQ cố định PQI cố định. Vậy I thuộc mặt phẳng cố định qua PQ và song song ABE. Bài 02. Cho hình vuông ABCD và ABEF nằm trong hai mặt phẳng phân biệt. Trên các đường chéo AC và BF lần lượt lấy hai điểm M và N sao cho AM BN. Chứng minh rằng MN luôn song song với một mặt phẳng cố định. Lời giải Vẽ NN AB BN A N CF AF (1). Vậy MN luôn song song mặt phẳng cố định DFEC.
Bài 03. Cho hình hộp ABCD A B C D. M là điểm thuộc cạnh AD, N là điểm thuộc cạnh DC sao cho AM D N MD NC. Chứng minh rằng MN C BD. Xác định thiết diện cắt bởi mặt phẳng P qua MN và song song C BD. Lời giải: Chứng minh rằng MN C BD. Theo giả thiết ta có AM D N AM DM AD MD NC D N C N D C. Theo định lý Talet đảo ta có MN AD DC cùng song song với Q Khi đó Q AD Q DC. Mà AD BC nên Q BC Q BDC MN BDC (ĐPCM).
Xác định thiết diện cắt bởi P qua MN và song song C BD. Ta có mặt phẳng P qua MN và song song C BD Nên: Từ M kẻ MF BD cắt AB tại F. Từ F kẻ đường thẳng EF AB cắt BB tại E Từ E kẻ đường thẳng EI BC cắt BC tại I. Từ N kẻ đường thẳng NJ C D cắt DD tại J. Dễ thấy thiết diện là lục giác MEFINJ có các cạnh đối lần lượt song song với ba cạnh của tam giác C BD. Bài 04. Cho hình lập phương ABCD A B C D cạnh a M N lần lượt là các điểm trên AD DB sao cho AM DN x x a.
Chứng minh khi x thay đổi đường thẳng MN luôn song song với một mặt phẳng cố định. Chứng minh khi 2 3 a x thì MN A C. Lời giải Chứng minh khi x thay đổi đường thẳng MN luôn song song với một mặt phẳng cố định. Kẻ ME AD E AA NF AD F AB đồng phẳng. Áp dụng định lý Talet ta có: AM AE DN AF AD AA DB AB. Mà AD BD. Chứng minh khi 2 3 a x thì MN A C. Gọi O là giao điểm của AC và BD; I là giao điểm của AD và AD.
DN DO hay N là trọng tâm ADC. Tương tự: M là trọng tâm AA D. Gọi J là trung điểm AD. Khi đó ta có: 1 3 JM JN JA JC (ĐPCM). Bài 05. Cho tứ diện ABCD và 4 điểm M N E F lần lượt nằm trên các cạnh AB BC CD và DA. Dùng định lý đảo Thalès trong không gian chứng minh rằng:Nếu 4 điểm M N E F đồng phẳng thì 1 MA NB EC FD MB NC ED FA Lời giải Gọi d là đường thẳng bất kỳ cắt MNEF tại O. Từ các điểm A B C D vẽ các mặt phẳng song song với MNEF và cắt đường thẳng d lần lượt tại A B C D. Khi đó ta có: MA OA MNEF OA A MB OB.