Định lý Ta-lét

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 8 bài viết Định lý Ta-lét, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 8.

Nội dung bài viết Định lý Ta-lét:
A LÍ THUYẾT Chương III bắt đầu bằng việc nghiên cứu tỉ số của hai đoạn thẳng, đó là tỉ số các độ dài của chúng theo cùng một đơn vị đo. Cho đoạn thẳng AB và một tỉ số m n 0, tồn tại duy nhất một điểm C thuộc đoạn thẳng AB sao cho CA CB = m n. Điểm C gọi là điểm chia trong đoạn thẳng AB theo tỉ số m n (khi đó điểm C chia đoạn thẳng BA theo tỉ số n m). Cho đoạn thẳng AB và một tỉ số m n, m n 0, m n khác 1, tồn tại duy nhất một điểm D thuộc đường thẳng AB nhưng nằm ngoài đoạn thẳng AB sao cho DA DB = m n. Điểm D gọi là điểm chia ngoài đoạn thẳng AB theo tỉ số m n (khi đó điểm D chia ngoài đoạn thẳng BA theo tỉ số n m). Trên hình 1, điểm C chia trong đoạn thẳng AB theo tỉ số 1 : 2, điểm D chia ngoài AB theo tỉ số 1 : 2. D A C B Nếu AB CD = A0B0 C0D0 thì ta có các cặp đoạn thẳng tỉ lệ : cặp đoạn thẳng AB và CD tỉ lệ với cặp đoạn thẳng A0B0 và C 0D0. Định lí Ta-lét cho ta các cặp đoạn thẳng tỉ lệ: Đường thẳng song song với một cạnh của tam giác thì định ra trên hai đường thẳng chứa hai cạnh kia các cặp đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ (do đó tạo với các đường thẳng chứa hai cạnh kia một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác ban đầu).
DE k BC ⇒ AD AB = AE AC = DE BC A B C D E VÍ DỤ 1. Cho hình thoi BEDF nội tiếp tam giác ABC (E thuộc AB, D thuộc AC, F thuộc BC). 1 Tính cạnh hình thoi biết AB = 4cm, BC = 6cm. Tổng quát với AB = c, BC = a. 2 Chứng minh rằng BD 2ac a + c với AB = c, BC = a. 3 Tính độ dài AB, BC, biết AD = m, DC = n, cạnh hình thoi bằng d. LỜI GIẢI. A K B F C E D 1 Gọi cạnh hình thoi là x. Áp dụng định lí Ta-lét vào 4ABC với ED k BC, ta có: ED BC = AE AB ⇒ x 6 = 4 − x 4 ⇒ x = 2, 4cm. Tổng quát, x = ac a + c. 2 Trên tia đối của tia BC lấy điểm K sao cho BK = BA. Ta có 4ABK cân, từ đó BD k KA. Áp dụng định lí Ta-lét vào 4CAK với BD k KA ta có: BD AK = CB CK ⇒ BD AK = a a + c. (1) Trong 4ABK, ta có: AK AB + BK = c + c = 2c (2) Từ (1) và (2) suy ra: BD a a + c · 2c = 2ac a + c. 3 Áp dụng định lí Ta-lét vào 4ABC với ED k BC ta có: ED BC = AD AC ⇒ d BC = m m + n ⇒ BC = d(m + n) m. Tương tự AB = d(m + n) n. 4! Chú ý: Từ kết quả của câu b, ta có: 1 BD a + c 2ac = 1 2 1 a + 1 c. Do đó, nếu gọi AM, CN là các đường phân giác của 4ABC và AC = b thì 1 AM + 1 BD + 1 CN 1 a + 1 b + 1 c. VÍ DỤ 2. Cho tam giác ABC (AC AB). Lấy các điểm D, E tùy ý theo thứ tự nằm trên các cạnh AB, AC sao cho BD = CE.
Gọi K là giao điểm của các đường thẳng DE, BC. Chứng minh rằng tỉ số KE KD không phụ thuộc vào cách chọn các điểm D và E. LỜI GIẢI. Cách 1: Để làm xuất hiện một tỉ số bằng KE KD, ta vẽ qua D đường thẳng DG k AC. Theo định lí Ta-lét, ta có: KE KD = KC KG, KE KD = EC DG. Trong hai tỉ số trên, ta chú ý đến tỉ số sau, vì độ dài EC được nêu trong giả thiết (EC = BD). Ta thay EC DG bằng BD DG và tỉ số này bằng BA AC (vì DG k AC). A E B G C K D Cách 2: Vẽ EH k AB ta có: KE KD = EH BD = EH EC = AB AC. A E B H C K D Cách 3: Vẽ DM k BC. Ta có: KE KD = CE CM = BD CM = AD AM = AB AC. A E B C K M D Nhận xét: Trong các bài tập vận dụng định lí Ta-lét, nhiều khi ta cần vẽ thêm một đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước. Đây là một cách vẽ được phụ hay dùng, vì nhờ đó mà tạo thêm được các cặp đoạn thẳng tỉ lệ. VÍ DỤ 3. Cho hình thang ABCD có AB k CD, AB CD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo, K là giao điểm của AD và BC. Đường thẳng KO cắt AB, CD theo thứ tự ở M, N.
Chứng minh rằng: MA ND = MB NC a); MA NC = MB ND b); c) MA = MB; NC = ND. LỜI GIẢI. K N A D C M B O 1 Áp dụng định lí Ta-lét vào các tam giác KDN, KNC với AB k CD, ta có: MA ND = KM KN, MB NC = KM KN, suy ra MA ND = MB NC (1). 2 Áp dụng định lí Ta-lét vào các tam giác ONC, OND với AB k CD, ta có: MA NC = OM ON, MB ND = OM ON, suy ra MA NC = MB ND (2). 3 Nhân từng vế (1) với (2) ta được: MA2 ND · NC = MB2 NC · ND, suy ra MA2 = MB2 tức là MA = MB. Từ đó NC = ND. Nhận xét: Từ ví dụ trên, ta suy ra: Trong hình thang có hai cạnh đáy không bằng nhau, đường thẳng đi qua giao điểm của các đường chéo và đi qua giao điểm của các đường thẳng chứa hai cạnh bên thì đi qua trung điểm của hai cạnh đáy. Tính chất này có nhiều ứng dụng quan trọng, được gọi là bổ đề hình thang. B BÀI TẬP.