Định lý Ta-lét đảo

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 8 bài viết Định lý Ta-lét đảo, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 8.

Nội dung bài viết Định lý Ta-lét đảo:
A TÓM TẮT LÍ THUYẾT Định lí 1 (Định lý Ta-lét đảo). Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và định ra trên hai cạnh ấy những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác. 4! Định lý trên vẫn đúng trong trường hợp đường thẳng cắt phần kéo dài của hai cạnh của tam giác. VÍ DỤ 1. Cho tứ giác ABCD, điểm M thuộc cạnh AB. Lần lượt vẽ ME song song BD (E AD), EG song song AC (G CD), GH song song BD (H BC). 1 Chứng minh MEGH là hình bình hành. 2 Tính chu vi tứ giác MEGH, nếu ABCD là hình chữ nhật có đường chéo bằng m. LỜI GIẢI. B M C D G A E H Hình câu (a) B M C D G A E H I K O Hình câu (b) 1 Ta có ME k BD ⇒ ME BD = AE AD. EG k AC ⇒ AE AD = CG CD. GH k BD ⇒ CG CD = HG BD. Từ ba điều trên suy ra ME BD = HG BD ⇒ ME = HG. Vậy ta có (ME k HG ME = HG ⇒ MEGH là hình bình hành. 2 Gọi I là giao điểm của ME, AC và O là giao điểm của AC và BD. Ta có IM OB = AM AB = AE AD = IE OD mà OB = OD nên IM = IE. Khi đó ta có ME = 2AI vì 4AME vuông tại A. Gọi K là giao điểm của HG và AC, tương tự ta có HG = 2CK.
Mặt khác MH = EG = IK, vậy chu vi tứ giác MEGH bằng ME + HG + MH + EG = 2(AI + CK + IK) = 2m. VÍ DỤ 2. Cho tam giác ABC. Các điểm D, E, F theo thứ tự chia trong các cạnh AB, BC, CA theo tỉ số 1 : 2. Các điểm I, K theo thứ tự chia trong các đoạn ED, F E theo tỉ số 1 : 2. Chứng minh IK k BC. LỜI GIẢI. Kẻ đường thẳng đi qua F và song song BC cắt ED, AB lần lượt tại P, Q. Khi đó ta có AF F C = AQ QB = 2, do đó Q là trung điểm của BD, suy ra P là trung điểm của DE. Ta có EI = 1 3 ED = 2 3 EP = 2IP, mặt khác EK = 2KF do đó IK k P F, mà P F k BC nên IK k BC. B D C F A E I K Q P B BÀI TẬP TỰ LUYỆN BÀI 1. Cho hình thang ABCD (AB k CD), M trung điểm của CD. Gọi I là giao điểm của AM và BD, K là giao điểm của BM và AC. 1 Chứng minh IK k AB. 2 Đường thẳng IK cắt AD, BC theo thứ tự tại E, F.
Chứng minh EI = IK = KF. LỜI GIẢI. 1 Vì AB k CD nên theo định lý Ta-lét ta có IM IA = MD AB KM KB = MC AB ⇒ IM IA = KM KB (vì MC = MD). Do đó theo định lý Ta-lét đảo ta có IK k AB. D E C F A B M I K b) Vì IK k AB k CD nên theo định lý Ta-lét ta có IE DM = AI AM = BI BD = IK DM ⇒ EI = IK. Tương tự ta có FK = IK. Vậy EI = IK = KF. BÀI 2. Điểm E thuộc cạnh bên BC của hình thang ABCD. Vẽ đường thẳng đi qua C và song song với AE, cắt AD ở K. Chứng minh BK song song DE. LỜI GIẢI. Gọi M là giao điểm của AD và BC. Theo định lý Ta-lét ta có MA MD = MB MC MA MK = ME MC ⇒ (MB · MD = MA · MC ME · MK = MA · MC. Do đó MB · MD = ME · MK ⇒ MB ME = MK MD. Vậy theo định lý Ta-lét đảo ta có BK k DE. A D K B C E M BÀI 3. Cho tam giác ABC, điểm I thuộc cạnh AB, điểm K thuộc cạnh AC.
Vẽ IM k BK (M AC), vẽ KN k CI (N AB). Chứng minh MN k BC. LỜI GIẢI. Theo định lý Ta-lét ta có AN AI = AK AC AI AB = AM AK ⇒ AN · AC = AI · AK = AB · AM. Suy ra AN AB = AM AC. Do đó theo định lý Ta-lét đảo ta có MN k BC. B I N C K M A BÀI 4. Cho tứ giác ABCD. Đường thẳng đi qua A song song với BC cắt BD tại E. Đường thẳng đi qua B song song với AD cắt AC tại G. 1 Chứng minh EG k DC. 2 Giả sử AB k CD. Chứng minh AB2 = EG · DC. LỜI GIẢI. B C D A E G O Hình câu (a) B O C D A E G Hình câu (b) Gọi O là giao điểm của AC và BD. 1 Ta có (AE k BC BG k AD ⇒ OE OB = OA OC OB OD = OG OA nhân vế theo vế OE OD = OG OC ⇒ CD k EG. 2 Ta có EG k AB BG k AD AB k CD ⇒ AB EG = OA OG = OD OB = DC AB ⇒ AB2 = EG · DC.
BÀI 5. Tứ giác ABCD có AC vuông góc và bằng BD. Các điểm E, F, G, H theo thứ tự chia trong các cạnh AB, BC, CD, DA theo tỉ số 1 : 2. Chứng minh rằng EG = F H và EG vuông góc F H. LỜI GIẢI. Gọi M là trung điểm của CF, N là trung điểm của DG. Khi đó ta có ME k AC và ME = 2 3 AC. Đồng thời NF k BD và NF = 2 3 BD. Mặt khác AC ⊥ BD, AC = BD nên NF ⊥ ME và NF = ME. Tương tự ta có NH = MG. Khi đó EMG = KNH = 90◦. Vậy 4EMG = 4F NH (c-g-c). Từ đó ta có EG = F H và EG ⊥ F H. B E C G N A H D F M BÀI 6. Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AD, BE, CF. Gọi I, K, M, N theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ D đến BA, BE, CF, CA. Chứng minh rằng bốn điểm I, K, M, N thẳng hàng.
LỜI GIẢI. Gọi H là trực tâm 4ABC. Ta có (DI k F C DK k EC ⇒ BI IF = BD DC BD DC = BK KE. Suy ra BI IF = BK KE ⇒ IK k F E. Tương tự ta có MN k F E. Ta lại có IF F A = DH HA = NE EA ⇒ IN k F E. Vậy IK k MN k IN ⇒ I, K, M, N thẳng hàng. B F I C A K H E N M D BÀI 7. Cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh BC, điểm M nằm giữa A và D. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của MB, MC. Gọi E là giao điểm của DI và AB, gọi F là giao điểm của DK và AC. Chứng minh EF k IK. LỜI GIẢI. Gọi N là trung điểm của AM. Ta có (IN k AE KN k AF ⇒ EI ID = FK KD = AN ND. Vậy EF k IK (theo định lý Ta-lét đảo).