Định lí Py – ta – go

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 7 bài viết Định lí Py – ta – go, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 7.

Nội dung bài viết Định lí Py – ta – go:
A TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1. Định lí Py – ta – go Trong tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông. Như vậy, với 4ABC vuông tại A ta có BC2 = AB2 + AC2. A C B Nhận xét. Từ kết quả của định lí Py – ta – go, chúng ta nhận thấy rằng: Với mỗi tam giác vuông nếu biết độ dài hai cạnh thì sẽ có được độ dài của cạnh còn lại. 2. Định lí Py – ta – go đảo Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh còn lại thì tam giác đó là tam giác vuông. Như vậy, với 4ABC ta có BC2 = AB2 + AC2 ⇒ 4ABC vuông tại A. A C B B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN VÍ DỤ 1. Cho 4ABC vuông tại A, biết AB = 3 cm, AC = 4 cm. Tính độ dài cạnh BC. LỜI GIẢI. Vì 4ABC vuông tại A nên BC2 = AB2 + AC2 = 32 + 42 = 25 ⇒ BC = 5. Vậy BC = 5 cm.
VÍ DỤ 2. Cho 4ABC vuông tại A, biết AB = 4 cm, BC = 5 cm. Tính độ dài cạnh AC. LỜI GIẢI. Vì 4ABC vuông tại A nên BC2 = AB2 + AC2 ⇒ AC2 = BC2 − AB2 = 52 − 4 2 = 9 ⇒ AC = 3. Vậy AC = 3 cm. VÍ DỤ 3. Xác định dạng của 4ABC, biết AB = 0,25 cm, BC = 0,2 cm, AC = 0,15 cm. LỜI GIẢI. Nhận xét rằng BC2 + AC2 = (0,2)2 + (0,15)2 = 0,04 + 0,0225 = 0,0625 = (0,25)2 = AB2. Vậy 4ABC vuông tại C. VÍ DỤ 4. Cho 4ABC nhọn. Vẽ đường cao AH (H BC). Tính chu vi 4ABC, biết AC = 13 cm, AH = 12 cm, BH = 9 cm. LỜI GIẢI. Để tính được chu vi 4ABC, ta cần xác định độ dài của AB, BC.
Trong 4ABH vuông tại H, ta có AB2 = AH2 + BH2 = 122 + 92 = 144 + 81 = 225 ⇒ AB = 15. Trong 4ACH vuông tại H, ta có CH2 = AC2 − AH2 = 132 − 122 = 169 − 144 = 25 ⇒ CH = 5 ⇒ BC = BH + CH = 9 + 5 = 14. C B A H Khi đó. chu vi 4ABC được tính bởi CV4ABC = AB + BC + AC = 15 + 14 + 13 = 42 cm. C BÀI TẬP LUYỆN TẬP BÀI 1. Cho 4ABC vuông tại A. Tính độ dài cạnh AC, biết: a) AB = 3 cm, BC = 5 cm; b) AB = 8 cm, BC = 10 cm; c) AB = 1 cm, BC = 1,25 cm; d) AB = 0,8 cm, BC = 1 cm. LỜI GIẢI. Vì 4ABC vuông tại A nên BC2 = AB2 + AC2 ⇒ AC2 = BC2 − AB2 = 52 − 3 2 = 16 ⇒ AC = 4 Vậy AC = 4 cm. a) BC2 = AB2 + AC2 ⇒ AC2 = BC2 − AB2 = 102 − 8 2 = 36 ⇒ AC = 6 Vậy AC = 6 cm. b) BC2 = AB2 + AC2 ⇒ AC2 = BC2 − AB2 = 1,252 − 1 2 = 0,5625 ⇒ AC = 0,75 Vậy AC = 0,75 cm. c) BC2 = AB2 + AC2 ⇒ AC2 = BC2 − AB2 = 12 − 0,8 2 = 0,36 ⇒ AC = 0,6 Vậy AC = 0,6 cm. d) BÀI 2. Cho 4ABC vuông tại A. Tính độ dài cạnh BC, biết: a) AB = AC = 2 cm; b) AB = 9 cm, AC = 12 cm; c) AB = 12 cm, AC = 16 cm; AB = √ 7 cm, AC = √ d) 2 cm.
LỜI GIẢI. Vì 4ABC vuông tại A nên BC2 = AB2 + AC2 = 22 + 22 = 8 ⇒ BC = 2√ 2 Vậy BC = 2√ 2 cm. a) BC2 = AB2 + AC2 = 92 + 122 = 225 ⇒ BC = 15 Vậy BC = 15 cm. b) BC2 = AB2 + AC2 = 122 + 162 = 400 ⇒ BC = 20 Vậy BC = 20 cm. c) BC2 = AB2 + AC2 = (√ 7)2 + (√ 2)2 = 9 ⇒ BC = 3 Vậy BC = 3 cm. d) BÀI 3. Xác định dạng của 4ABC, biết: a) AB = 15 cm, BC = 20 cm, AC = 25 cm; AB = 4 cm, BC = 4√ b) 2 cm, AC = 4 cm. LỜI GIẢI. 1 Nhận xét rằng AB2 + BC2 = 152 + 202 = 225 + 400 = 625 = 252 = AC2 Vậy 4ABC vuông tại B. 2 Nhận xét rằng AB2 + AC2 = 42 + 42 = 16 + 16 = 32 = (4√ 2)2 = BC2 Vậy 4ABC vuông tại A. BÀI 4. Cho 4ABC nhọn. Vẽ đường cao AH (H BC). Tính chu vi 4ABC, biết AC = 20 cm, AH = 12 cm, BH = 5 cm. LỜI GIẢI. Để tính được chu vi 4ABC, ta cần xác định độ dài của AB, BC.
Trong 4ABH vuông tại H, ta có AB2 = AH2 + BH2 = 122 + 52 = 144 + 25 = 169 ⇒ AB = 13. Trong 4ACH vuông tại H, ta có CH2 = AC2 − AH2 = 202 − 122 = 400 − 144 = 256 ⇒ CH = 16 ⇒ BC = BH + CH = 5 + 16 = 21. B C A H Khi đó. chu vi 4ABC được tính bởi CV4ABC = AB + BC + AC = 13 + 21 + 20 = 54 cm. BÀI 5. Cho hai đoạn thẳng AC = 16 cm và BD = 12 cm. Tính độ dài các đoạn thẳng AB, BC, CD, DA biết AC và BD vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. LỜI GIẢI. Gọi I là giao điểm của AC và BD, khi đó AI = CI = 4 cm, BI = DI = 3 cm, AIB) = BIC) = CID = DIA) = 90o. Ta có 4ABI = 4CBI = 4CDI = 4ADI (c.g.c). ⇒ AB = CB = CD = AD (các cạnh tương ứng). Áp dụng định lí Py – ta – go, ta có AB2 = AI2 + BI2 = 4 2 + 32 = 25 ⇒ AB = 5 cm. Vậy AB = BC = CD = DA = 5 cm. C I A B D.
BÀI 6. Trên đường trung trực d của đoạn thẳng AB lấy điểm C bất kỳ. Chứng minh rằng: 1 CA = CB; 2 d là đường phân giác của ACB. LỜI GIẢI. 1 Gọi H là trung điểm của AB. Theo đề ta có C nằm trên đường trung trực của AB nên CH ⊥ AB. Xét 4ACH và 4BCH, ta có: CH là cạnh chung AH = BH (do H là trung điểm AB) CHA = CHB = 90o ⇒ 4ACH = 4BCH (c.g.c). ⇒ CA = CB (hai cạnh tương ứng). 2 Lại có 4ACH = 4BCH ⇒ ACH = BCH (hai góc tương ứng). Vậy CH (hay d) là đường phân giác của ACB. B C A H BÀI 7. Cho góc xOy). Lấy các điểm A, B theo thứ tự thuộc Ox và Oy sao cho OA = OB. Vẽ AH vuông góc với Oy (H Oy), vẽ BK vuông góc với Ox (K Ox). Gọi M là giao điểm của AH và BK. Chứng minh rằng: 1 OH = OK; 2 OM là tia phân giác của xOy).
LỜI GIẢI. O M A x K B y H 1 Xét 4AOH có AOH + AHO + OAH = 180o ⇒ OAH = 180o − (AOH + AHO) ⇒ OAH = 180o − (AOH + 90o) = 90o − AOH. Xét 4BOK có BOK + BKO + OBK = 180o ⇒ OBK = 180o − (BOK + BKO) ⇒ OBK = 180o − (BOK + 90o) = 90o − BOK = 90o − AOH. Do đó OAH = OBK. Xét 4AOH và 4BOK có: OA = OB (giả thiết) OAH = OBK Ob là góc chung ⇒ 4AOH = 4BOK (g.c.g). ⇒ OH = OK (hai cạnh tương ứng). 2 Ta có OA = OB, OH = OK. Mà OA = OK +KA ⇒ KA = OA−OK và OB = OH +HB ⇒ HB = OB −OH = OA−OK. Do đó KA = HB. Xét 4AKM và 4BHM ta có: KA = HB MAK = MBH MKA = MHB = 90o ⇒ 4AKM = 4BHM (g.c.g). ⇒ KM = HM (hai cạnh tương ứng). Xét 4KMO và 4HMO ta có: OK = OH OM là cạnh chung MK = MH (chứng minh trên) ⇒ 4KMO = 4HMO (c.c.c). ⇒ KOM = HOM (hai góc tương ứng). Vậy OM là tia phân giác của xOy).