Diện tích của đa giác

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 8 bài viết Diện tích của đa giác, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 8.

Nội dung bài viết Diện tích của đa giác:
A TÓM TẮT LÍ THUYẾT Diện tích hình chữ nhật: S = a · b (a là chiều dài, b là chiều rộng). Diện tích hình vuông: S = a 2 (a là cạnh). Diện tích tam giác: S = 1 2 ah (a là cạnh, h là chiều cao tương ứng). Diện tích tam giác đều: S = a 2 √ 3 4 (a là cạnh). Diện tích hình thang: S = 1 2 (a + b) · h (a và b là hai đáy, h là chiều cao). Diện tích hình bình hành: S = a · h (a là cạnh, h là chiều cao tương ứng). Diện tích hình thoi, diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc: S = 1 2 d1d2 (d1 và d2 là hai đường chéo). VÍ DỤ 1. Tính diện tích hình thang ABCD có cạnh bên AD = a, khoảng cách từ trung điểm E của BC đến AD bằng h. LỜI GIẢI. Qua E, kẻ đường thẳng song song với AD, cắt AB và CD theo thứ tự tại M và N. Xét 4ENC và 4EMB có MBE = ECN (so le trong). EB = EC (E là trung điểm của BC). BEM = NEC (đối đỉnh). Do đó 4ENC = 4EMB (g.c.g) ⇒ S4ENC = S4EMB. Cộng SABEND vào 2 vế ta được SABCE = SAMND. AMND là hình bình hành nên SAMND = AD · EH = ah. Vậy SABCD = ah (đơn vị diện tích). A B M H E D N C VÍ DỤ 2. Tam giác ABC có ba góc nhọn, vẽ các đường cao BD, CE. Gọi H, K theo thứ tự là hình chiếu của B, C trên đường thẳng ED. Chứng minh rằng: 1 EH = DK; 2 S4BEC + S4BDC = SBHKC. LỜI GIẢI. a) Gọi M, I theo thứ tự là trung điểm của BC và ED. 4MDE có MD = ME (cùng bằng 1 2 BC) nên là tam giác cân. Do đó MI ⊥ ED. Hình thang BHKC có BM = MC, MI k BH k CK nên I là trung điểm của HK. Ta có IH = IK, IE = ID nên EH = DK. b) Vẽ EE0, II0, DD0 vuông góc với BC. Ta có II0 là đường trung bình của hình thang EE0D0D A P I D K E H Q B E 0 I 0 D0M C nên II0 = 1 2 (EE0 + DD0). Do đó S4BEC + S4BDC = 1 2 BC · EE0 + 1 2 BC · DD0 = 1 2 BC(EE0 + DD0) = BC · II0 (1). Qua I, vẽ đường thẳng song song với BC, cắt BH và CK ở P và Q. Ta có BC · II0 = SBP QC (2). Ta lại có 4P IH = 4QIK (g.c.g) nên S4P IH = S4QIK, do đó SBP QC = SBHKC (3). Từ (1),(2),(3) suy ra S4BEC + S4BDC = SBHKC. VÍ DỤ 3. Cho hình bình hành có bốn đỉnh nằm trên bốn cạnh của một tứ giác, trong đó hai đỉnh của hình bình hành là trung điểm hai cạnh đối của tứ giác. Chứng minh rằng diện tích hình bình hành bằng nửa diện tích tứ giác. LỜI GIẢI. Xét tứ giác ABCD và hình bình hành EF GH có E, G là trung điểm của AB, CD. Gọi O là tâm của hình bình hành EF GH, M và N là trung điểm của BC và AD. Do EMGH cũng là hình bình hành nên O cũng là trung điểm của MN. Xét hai trường hợp: a) Nếu F không trùng M thì FMHN là hình bình hành. Khi đó FM k NH nên BC k AD. Suy ra ABCD là hình thang. Dễ thấy SEF GH = 1 2 SABCD. B F M C E G A N H D O b) Nếu F trùng M thì H trùng N. Khi đó SEF GH = SEMGN = 1 2 SABCD. VÍ DỤ 4. Tính diện tích hình thang có hai đường chéo dài 6 m và 10 m, đoạn thẳng nối trung điểm hai đáy bằng 4 m. LỜI GIẢI. Gọi ABCD là hình thang có AB k CD, BD = 6 m, AC = 10 m. Gọi E, F, K theo thứ tự là trung điểm của AB, CD, BC. Khi đó + EK là đường trung bình của 4ABC nên EK = AC 2 = 5 m. + FK là đường trung bình của 4BDC nên FK = BD 2 = 3 m. D C A E B K F H Ta có EF2 + FK2 = 32 + 42 = 25 = 52 = EK2 nên theo định lí Pytago đảo suy ra EFK = 90◦. Gọi H là trung điểm của AD. Dễ dàng chứng minh được EHFK là hình bình hành nên SEHFK = 2 · S4EFK = EF · FK = 12 m2. Dễ dàng chứng minh được SABCD = 2 · SEHFK. Vậy SABCD = 24 m2. 4! Các đoạn thẳng EF, AC, BD đồng quy vì trong hình thang trung điểm của hai đáy và giao điểm của hai đường chéo là ba điểm thẳng hàng, xem Bổ đề hình thang ở Nâng cao và phát triển Toán 8 tập hai. B BÀI TẬP 1. Diện tích hình chữ nhật, hình vuông, hình tam giác BÀI 1. Cho một hình chữ nhật có các kích thước là a và b (a và b có cùng đơn vị đo). Các tia phân giác các góc của hình chữ nhật cắt nhau tạo thành một tứ giác. Xác định dạng tứ giác đó và tính diện tích của nó. LỜI GIẢI. Xét 4ABG ta có GAB = GBA = 45◦. Suy ra AGB = 90◦. Tương tự ta chứng minh được EF GH là hình chữ nhật. Mặt khác ta có 4AGB cân tại G suy ra AG = BG. Ta cũng có 4AHD = 4BF C (g.c.g). ⇒ AH = BF. Vậy ta thu được HG = GF. Khi đó EF GH là hình vuông. A B D C E H F G Do 4AGB vuông cân tại G suy ra AG = AB √ 2. Tương tự 4AHD vuông cân tại H suy ra AH = AD √ 2. Ta tính được HG = |a − b| √ 2. Vậy SEF GH = (a − b) 2 2. BÀI 2. Tam giác ABC vuông tại C có BC = a, AC = b, Về phía ngoài tam giác ABC, vẽ tam giác DAB vuông cân tại D. Gọi H, K theo thứ tự là hình chiếu của D trên CB, CA, Tính diện tích của tứ giác DHCK. LỜI GIẢI. Ta chứng minh được 4AKD = 4BHD (cạnh huyền – góc nhọn). Suy ra KD = KH. Dễ thấy DHCK là hình chữ nhật. Vậy DHCK là hình vuông. Ta có CK + CH = CA + AK + CB − BH = AC + CB = a + b (vì AK = CH). Suy ra CK = a + b 2. Vậy diện tích hình vuông là (a + b) 2 4. C B D A K H BÀI 3. Tam giác ABC vuông tại A, có BC = a, AC = b, AB = c, diện tích S. Chứng minh rằng 4S = (a + b + c)(b + c − a). LỜI GIẢI. Ta có (a + b + c)(b + c−a) = (b + c + a)(b + c−a) = (b + c) 2 −a 2 = b 2 + c 2 + 2bc−a 2 = 2bc (vì b 2 + c 2 = a 2). Mà S = 1 2 bc. Vậy (a + b + c)(b + c − a) = 4bc. BÀI 4. Cho tam giác ABC vuông tại A, các đường phân giác của các góc B và C cắt nhau ở I. Biết hình chiếu của IB, IC trên BC có độ dài lần lượt là m, n. Tính diện tích của tam giác ABC. LỜI GIẢI. Ta có I là giao điểm của ba đường phân giác nên cách đều ba cạnh. Gọi H, M, N theo thứ tự là hình chiếu của I trên BC, AB, AC. Đặt IH = IM = IN = x. Khi đó AM = AN = x, BM = BH = m, CN = CH = n. Theo định lý Pytago, ta có (x + m) 2 + (x + n) 2 = (m + n) 2 ⇒ x 2 + xm + xn = mn. H C A B N I M Mặt khác S = 1 2 · AB · AC = 1 2 (x + m)(x + n) = 1 2 (x 2 + xm + xn + mn) = mn.