Đếm số

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Đếm số, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.

Nội dung bài viết Đếm số:
Cách giải thông thường. Gọi số cần tìm là z = 0,02 … an. Liệt kê các số c thỏa mãn điều kiện đề bài. Dựa vào tính chất bài toán xem có chia trường hợp hay không? Thứ tự đếm và sử dụng quy tắc cộng, nhân (nếu có). BÀI TẬP DẠNG 5 Ví dụ 1. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau? Mỗi số tự nhiên có năm chữ số khác nhau được lập bằng cách lấy năm chữ số khác nhau từ chín số đã cho và xếp chúng theo một thứ tự nhất định. Mỗi số như vậy được coi là một chỉnh hợp chập 5 của 9. Vậy số các số đó là A5 = 9.8.7.6.5 = 15120.
Ví dụ 2. a) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau? b) Tính tổng của tất cả các số tìm được ở câu trên. a) Mỗi số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau được lập bằng cách lấy bốn chữ số khác nhau từ chín số đã cho và xếp chúng theo một thứ tự nhất định. Mỗi số như vậy được coi là một chỉnh hợp chập 4 của 9. Vậy số các số đó là S = AB = 9.8.7.6 = 3024. b) Ta chia S số ở câu a thành 3 cặp số có dạng (T1020304; 01/2/3/4) trong đó 2 + i = 10. Tổng mỗi cặp như vậy đều bằng 11010. . Vậy tổng của tất cả các số đó bằng T = G.A.11110 = 16798320.
Ví dụ 3. Cho tập A= {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}. a) Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau và mỗi số chứa chữ số 5? b) Trong các số trên, có bao nhiêu số không chia hết cho 5? a) Một số gồm 6 chữ số phân biệt hình thành từ A có dạng a1 a203040506, Với độ € A, i = 1,6 và aj #aj, i + j. Để số tìm được phải có mặt chữ số 5, ta thấy: 5c{a1, a2; 13; 4; 15; 06} có 6 cách chọn. Tiếp theo, mỗi bộ số dành cho năm vị trí còn lại ứng với một chỉnh hợp chập 5 của các phần tử của tập A\{5} có 8 phần tử. Suy ra có AB cách chọn. Như vậy ta được 6.A = 40320 số.
b) Trong các số trên, những số chia hết cho 5 có a6 = 5, tức là có AB số. Vậy số các số tìm thấy không chia hết cho 5 là 6A5 – A5 = 5AB = 33600 số. Ví dụ 4. Cho tập A = {0; 2; 4; 6}. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau? Số gồm 3 chữ số khác nhau được lập từ A có dạng a10203, với ai € A, 4 = 1,3. Trong đó: ai khác 0 nên có 4 cách chọn. Mỗi bộ (02, a3) ứng với một chỉnh hợp chập 2 của các phần tử của tập A \{a}: có 4 phần tử nên có Aề cách chọn Vậy số các số thỏa bài toán là 4.A2 = 48 SỐ.
Ví dụ 5. Tìm các số tự nhiên có 4 chữ số đội một khác nhau được lập thành từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5 sao cho trong mỗi số đó đều có mặt ít nhất chữ số 1 hoặc 2? Gọi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau có dạng a1020304, với ai có 5 cách chọn, vậy có 5.AB = 300 số. Gọi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau, không chứa 1 và 2 là bbbbq, Với bị c{0; 3; 4; 5}, bị có 3 cách chọn, 3 số còn lại có A cách, vậy có 3.AB = 18 cách. Vậy số các số cần tìm là 300 – 18 = 282 số.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Từ các chữ số 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau? Lời giải. Mỗi số tự nhiên có 5 chữ số được lập từ các chữ số 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8 là 1 chỉnh hợp chập 5 của 7 phần tử đã cho. Số chỉnh hợp chập 5 của 7 phần tử đã cho là A5 = 2520. Bài 2. Cho tập X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau? Vì số cần lập là số chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau nên có 4 cách chọn chữ số hàng đơn vị. Với mỗi cách chọn chữ số hàng đơn vị, ta có AB = 3024 cách chọn 4 chữ số còn lại. Áp dụng quy tắc nhân, ta có 4.3024 = 12096 số thỏa yêu cầu bài toán.
Bài 3. Cho tập X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số đôi một khác nhau? Lời giải. Số số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số trên là 6.AB = 720 số. Số số lẻ có 4 chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số đã cho là 3.6.AB = 360 số. Số chẵn có 4 chữ số đội một khác nhau được lập từ các chữ số trên là 720 – 360 = 360 số.
Bài 4. Cho tập X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau, trong đó có chữ số 1? Lời giải. Có 6 cách chọn vị trí cho chữ số 1. Với mỗi cách chọn vị trí cho chữ số 1, ta có A = 6720 cách chọn. Áp dụng quy tắc nhân, ta có 6.6720 = 40320 số thỏa yêu cầu bài toán.