VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 8 bài viết Đa giác, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 8.
Nội dung bài viết Đa giác:
A TÓM TẮT LÍ THUYẾT Đa giác A1A2A3… An là hình gồm n đoạn thẳng (n ≥ 3), trong đó bất kì hai đoạn thẳng nào có điểm chung cũng không cùng nằm trên một đường thẳng. Đa giác lồi là đa giác nằm trong một nửa mặt phẳng mà bờ là đường thẳng chứa bất kì cạnh nào của đa giác đó. Khi nói đến đa giác mà không chú thích gì thêm, ta hiểu đó là đa giác lồi. Tổng số đo các góc của đa giác n cạnh là (n − 2) · 180◦. Đa giác đều là đa giác có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau. VÍ DỤ 1. Tổng các góc của một đa giác n cạnh trừ đi góc A của nó bằng 570◦. Tính n và Ab. LỜI GIẢI. Ta có (n − 2) · 180◦ − Ab = 570◦ nên Ab = (n − 2) · 180◦ − 570◦. Do 0 ◦ A b 180◦ nên 0 (n − 2) · 180◦ − 570◦ 180◦ ⇔ 0 n − 2 − 570 180 1 ⇔ 5 1 6 n 6 1 6. Do n là số tự nhiên nên n = 6 và Ab = (6 − 2) · 180◦ − 570◦ = 150◦. VÍ DỤ 2. Ngũ giác đều ABCDE có các đường chéo AC và BE cắt nhau ở K. Chứng minh rằng CKED là hình thoi. LỜI GIẢI. Góc của ngũ giác đều bằng (5 − 2) · 180◦ 5 = 108◦. Tam giác ABC cân tại B có ABC = 108◦ nên Ac1 = Cc1 = 36◦. Do đó Ac2 = Cc2 = 108◦ − 36◦ = 72◦. Ta có Cc2 + D = 72◦ + 108◦ = 180◦ nên AC k DE.
Chứng minh tương tự, BE k CD. Do đó CKED là hình bình hành. Ta lại có CD = DE nên CKED là hình thoi. A B K E C D 1 1 2 2 B BÀI TẬP 1. Đa giác BÀI 1. Tính số cạnh của một đa giác, biết rằng đa giác đó có: 1 Tổng các góc trong bằng tổng các góc ngoài (tại mỗi đỉnh của đa giác chỉ kể một góc ngoài); 2 Số đường chéo gấp đôi số cạnh; 3 Tổng các góc trong trừ đi một góc của đa giác bằng 2570◦. LỜI GIẢI. Gọi số cạnh của đa giác là n. 1 Ta có (n − 2) · 180◦ = 2 · 180◦. Ta tìm được n = 4. 2 Ta có n(n − 3) 2 = 2n. Ta tìm được n = 7. 3 Ta có (n − 2) · 180◦ − Ab = 2570◦ nên Ab = (n − 2) · 180◦ − 2570◦. Do 0 ◦ A b 180◦ nên 0 (n − 2) · 180 − 2570 180 ⇔ 16 5 18 n 17 5 18. Do n là số tự nhiên nên n = 17. BÀI 2. Cho ngũ giác ABCDE. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, DE, AE; gọi I là trung điểm của NQ, K là trung điểm của MP. Chứng minh rằng IK k CD, IK = 1 4 CD. LỜI GIẢI. Gọi F là trung điểm của CE. Khi đó ta có P F, KI lần lượt là đường trung bình của 4EDC và 4MP F. Do đó IK k P F và P F k CD. ⇒ IK k CD. Lại có IK = 1 2 P F và P F = 1 2 CD ⇒ IK = 1 4 CD. A M B N I F Q K E P D C BÀI 3. Chứng minh rằng nếu một lục giác có các góc bằng nhau thì hiệu các cạnh đối diện bằng nhau. LỜI GIẢI. Kẻ các tia phân giác của góc B, D, F, chúng cắt nhau tạo thành 4GHI như hình vẽ. Tổng số đo các góc trong hình lục giác là (6 − 2) · 180◦ = 720◦. Mà các góc bằng nhau nên số đo mỗi góc là 720◦ : 6 = 120◦.
Khi đó ta có BCD + CDI = 180◦ ⇒ BC k DI. ⇒ BCDI là hình thang. Mà CBI = CDI nên BCDI là hình bình hành. B C A H G D F E I Tương tự ta có HDEF, ABGF là hình bình hành. ⇒ F E = HD, ID = BC, AB = F G, HF = DE, CD = BI, BG = AF. ⇒ AB − DE = F G − HF = HG, F E − BC = HI, CD − AF = BG. Mà các góc của 4HGI bằng 60◦ nên 4HGI là tam giác đều. ⇒ HG = GI = HI ⇒ AB − DE = F E − BC = CD − AF. BÀI 4. Lục giác ABCDEF có số đo các góc (tính theo độ) là một số nguyên và Ab − B = B − Cb = Cb − D = D − E = E − Fb. Giá trị lớn nhất của Ab có thể bằng bao nhiêu? LỜI GIẢI. Tổng các góc trong lục giác bằng (6 − 2) · 180◦ = 720◦. Đặt Ab − B = B − Cb = Cb − D = D − E = E − Fb = α, ta có Ab + B + Cb + D + E + Fb = 720◦ ⇒ Ab + Ab − α + Ab − 2α + Ab − 3α + Ab − 4α + Ab − 5α = 720◦ ⇒ 6Ab − 15α = 720◦ ⇒ 2Ab = 5α + 240◦. Do Ab là số nguyên và chia hết cho 5 nên Ab ≤ 175◦. Giá trị lớn nhất của Ab là 175◦ khi α = 22◦. 2. Đa giác đều BÀI 5. Gọi M là điểm bất kì trong tam giác đều ABC. Các điểm A0, B0, C 0 là hình chiếu của M trên các cạnh BC, AC, AB. Tính tỉ số MA0 + MB0 + MC0 AB0 + BC0 + CA0. LỜI GIẢI. Qua M vẽ các đường thẳng song song với với các cạnh của 4ABC, chúng cắt mỗi cạnh thành ba đoạn thẳng NP, N0Q, P 0Q0 như hình vẽ. Đặt P 0Q0 = x, N0Q = y, NP = z, ta có MA0 + MB0 + MC0 = x √3 2 + y √3 2 + z √3 2 = (x + y + z) √3 2 (1). A M P Q C 0 N B0 N0 B Q0 A0 P 0 C AB0 + BC0 + CA0 = z + y 2 + x + z 2 + y + x 2 = 3 2 (x + y + z) (2).
Từ (1) và (2) suy ra MA0 + MB0 + MC0 AB0 + BC0 + CA0 = √3 3. BÀI 6. Cho lục giác đều ABCDEF, M và N theo thứ tự là trung điểm của CD, DE. Gọi I là giao điểm của AM, BN. 1 Tính AIB. 2 Tính OID (O là tâm của lục giác đều). Hướng dẫn: Chứng minh rằng IO, ID là các tia phân giác của hai góc kề bù. LỜI GIẢI. a) 4ADM = 4BEN (c.g.c) nên Ac1 = Bc1. Gọi O là giao điểm của AD và BE, K là giao điểm của AM và BE. Ta có BIK = AOK = 60◦. Vậy AIB = 60◦. b) Vẽ OG ⊥ AM, OH ⊥ BN. Ta có 4OGA = 4OHB (cạnh huyền – góc nhọn) nên OG = OH. ⇒ IO là tia phân giác của góc AIN (1). Vẽ EE0 ⊥ BN, DD0 ⊥ AM, DD1 ⊥ BN. Ta có EE0 = DD0 (bằng hai lần các đoạn thẳng bằng nhau OH, OG). Mà EE0 = DD1 nên DD1 = DD0. ⇒ ID là tia phân giác của góc MIN (2). Từ (1), (2) suy ra OID = 90◦. A B K M F O I H C D0 G E D E 0 N D1 1 1 BÀI 7. Chứng minh rằng ngũ giác có năm cạnh bằng nhau và ba góc liên tiếp bằng nhau là ngũ giác đều. LỜI GIẢI. Trước hết, xét tứ giác ABCD, ta có B = Cb, AB = CD nên ABCD là hình thang cân ⇒ BAD = CDA. Do đó BAE = CDE. Chứng minh tương tự đối với tứ giác ABCE ta được Cb = E. Vậy Ab = B = Cb = D = E hay ABCDE là ngũ giác đều. A B E C D.
BÀI 8. Chứng minh rằng trong đa giác đều 9 cạnh, hiệu giữa đường chéo lớn nhất và đường chéo nhỏ nhất bằng cạnh của nó. LỜI GIẢI. Gọi ABCDEF GHI là đa giác đều 9 cạnh, AE là đường chéo lớn nhất, BD là đường chéo nhỏ nhất, ABDE là hình thang cân. Vẽ BM ⊥ AE, DN ⊥ AE, ABC = 140◦ nên ABM = 30◦. Ta có AM = AB 2 nên AE − BD = AB. B C D A I E F H G M N BÀI 9. 1 Tìm số n sao cho mặt phẳng có thể được phủ kín bởi các đa giác đều bằng nhau có n cạnh. 2 Có tồn tại các ngũ giác bằng nhau (không yêu cầu đều) để phủ kín mặt phẳng không? 3 Số đo các góc của đa giác đều n cạnh là số tự nhiên. Có bao nhiêu giá trị của n thỏa mãn bài toán? LỜI GIẢI. 1 Theo đề bài ta có 360… (n − 2) · 180◦ n ⇔ n ∈ {3; 4; 6}. 2 Có. Chẳng hạn ngũ giác là nửa của lục giác đều. 3 Ta có (n − 2) · 180◦ n ∈ N ⇒ 180 − 360 n ∈ N ⇒ 360… n. Phân tích 360 ra thừa số nguyên tố ta được 360 = 23 · 3 2 · 5. Số 360 có 24 ước tự nhiên. Do n ≥ 3 nên ta loại các số 1 và 2. Vậy có 22 giá trị của n thỏa mãn bài toán.