Đa diện có các đỉnh cùng nhìn một đoạn nối hai đỉnh còn lại dưới góc vuông

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Đa diện có các đỉnh cùng nhìn một đoạn nối hai đỉnh còn lại dưới góc vuông, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Đa diện có các đỉnh cùng nhìn một đoạn nối hai đỉnh còn lại dưới góc vuông:
Dạng 2: Đa diện có các đỉnh cùng nhìn một đoạn nối hai đỉnh còn lại dưới góc vuông Phương pháp giải: Xét đa giác 1 2… XYA A An có các đỉnh 1 2 AA An cùng nhìn XY một góc vuông, chẳng hạn có 0 1 2 A XY A XY 90. Khi đó, mặt cầu ngoại tiếp đa diện 1 2… XYA A An mặt cầu đường kính XY, tâm là trung điểm của XY và bán kính 2 XY R.
Ví dụ 1: Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác ABC BC a AC a 3 2. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA a. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bằng 0 45. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC bằng? Lời giải Vì SA ABC nên 0 SB ABC AB AB SBA 45. Suy ra tam giác SAB vuông cân tại A SA AB a.
Ta có 2 AB BC a a a AC ABC ∆ 3 4 vuông tại B. Do đó AB BC mà BC SA BC SAB BC SB. Khi đó, hai điểm A, B cùng nhìn SC dưới một góc vuông. Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp cần tính là 5 2 2 SC a R. Chọn A. Ví dụ 2: Cho hình chóp SABC có SC a 2 và SC ABC. Đáy ABC là tam giác vuông cân tại B có AB a 2. Mặt phẳng (α) đi qua C và vuông góc với SA (α) cắt SA SB lần lượt tại D E. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện ECDAB bằng?
Lời giải: Ta có SC AB AB SBC CE AB BC AB. Mà SA SA CE ⇒ (α) suy ra CE SB CE SAB. Do đó các điểm BDE nhìn AC dưới một góc vuông ⇒ Tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện là trung điểm AC AC AB ⇒ R a Sa π. Chọn B. Ví dụ 3: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O BD a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy ABCD là trung điểm của OC. Đường thẳng SC tạo với mặt đáy một góc 0 60. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD bằng?
Lời giải Gọi H là trung điểm của 2 4 OC a OC SH ABCD HC. Ta có 0 SC ABCD SC HC SCH 60. Tam giác SHC vuông tại H có cos 2 HC a SCH SC SC. Lại có SH OC SOC ⇒ ∆ cân tại 2 a S SO SC. Do đó SO OA OC mà OA OB OC OD. Suy ra O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD. Vậy 3 4 3 22 3 6 BD a a R VR π π. Chọn D.
Ví dụ 4: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2 2. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 3. Mặt phẳng qua A và vuông góc SC với cắt các cạnh SB SC SD lần lượt tại các điểm MNP. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp tứ diện C MNP. Lời giải Ta có SC AMNP SC AM ⇒ mà AM SB 0 ⇒ AM MC AMC 90. Tương tự 0 APC 90.
Mặt khác 0 ANC 90 nên tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện C MNP là trung điểm của AC. Suy ra 4 32 3 2 2 33 AC R VR ⇒ Chọn C. Ví dụ 5: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2 2, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). Mặt phẳng (α) qua A và vuông góc với SC, cắt các cạnh SB SC SD lần lượt tại các điểm MNP. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp tứ diện C MNP biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) bằng?
Mặt khác: AM SC AM SBC AM MN ⇒ Tương tự AP PN ⇒ tứ giác AMNP nội tiếp đường tròn đường kính 2 MNP AMNP AN AN R R ⇒ Gọi O là tâm hình vuông ABCD, dựng 6 13 AE SO AE. Do đó 22 2 111 2 3 2 AC AO SA AE SA AO 12 6 9 3 5 5 5 4 2 MPN S MPN MNP SA AC SA SN AN R SN R R SA AC SC 3 4 9 3 27 V R S MPN π π. Chọn C.