Cực trị hàm hợp y = f(u(x))

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Cực trị hàm hợp y = f(u(x)), nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Cực trị hàm hợp y = f(u(x)):
Dạng toán 9. Cực trị hàm hợp y = f(u(x)). Phương pháp giải Bài toán: Cho hàm số y f x (đề có thể ra bằng hàm, đồ thị, bảng biến thiên của f x f x). Tìm số điểm cực trị của hàm số y f u. Cách 01. Bước 1. Tính y u f u. Bước 2. Giải phương trình 0 u y f u Bước 3. Giải lần lượt u 0 và f u 0 thông thường giải u 0 sẽ đơn giản, để giải f u 0 ta tìm 0 x a f x x b (đồ thị cắt Ox).
Bước 4. Lập bảng xét dấu của y u f u. Bước 5. Từ bảng xét dấu kết luận yêu cầu bài toán. Cách 02. Bước 1. Tính y u f u. Bước 2. Từ đề ra ta tìm được f x giả sử đề ra: Bảng xét dấu của f x nhìn những vị trí x a f x f x x b. Đồ thị của f x nhìn những vị trí đồ thị cắt x a Ox f x x a x b. Đồ thị của f x nhìn những vị trí “cù chỏ” x a f x x a x b.
Bước 3. Từ f x f u bằng cách chỗ nào có x thay bằng u. Bước 4. Ta có được y u x f u x lập bảng xét dấu của hàm này. Bước 5. Từ bảng xét dấu kết luận yêu cầu bài toán. Ví dụ 01. Cho hàm số y f x xác định trên có đồ thị f x như hình vẽ bên. Hàm số 3 g x f x x đạt cực tiểu tại điểm 0 x. Giá trị 0 x thuộc khoảng nào sau đây.
Lời giải Chọn B Ta có 3 2 3 g x f x x g x x. Do đó 2 3 3 3 g x x f x x f. Bảng biến thiên Vây hàm số 3 g x f x x đạt cực tiểu tại điểm 0 x 0. Suy ra x0 1 1. Ví dụ 02. Cho hàm số y f x liên tục trên có đồ thị f x như hình vẽ. Số điểm cực tiểu của hàm số 2 g x f x x là? Lời giải: Chọn A Ta có y = f(x) x y y = f'(x). Bảng biến thiên Vậy hàm số có 1 điểm cực tiểu.
Ví dụ 03. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên bảng biến thiên của hàm số f x như sau: Số điểm cực trị của hàm số 2 y f x x 2 là: Lời giải Chọn B Ta có x y x f x x. Từ BBT ta thấy phương trình 2 1 4 x x a x x b x x c. Đồ thị hàm số 2 y x x 2 có dạng Từ đồ thị hàm số 2 y x x 2 ta thấy phương trình (2) vô nghiệm; phương trình (3) phương trình (4) đều có 2 nghiệm phân biệt.
Do đó y’ 0 có 5 nghiệm đơn phân biệt. Vậy hàm số 2 y f x x 2 có 5 điểm cực trị. Ví dụ 04. Cho hàm số y f x có đúng ba điểm cực trị là 2 1 0 và có đạo hàm liên tục trên. Khi đó hàm số 2 y f x x 2 có bao nhiêu điểm cực trị? Lời giải Chọn A Vì hàm số y f x có đúng ba điểm cực trị là 2 1 0 và có đạo hàm liên tục trên nên f x 0 có ba nghiệm là 2 1 0 (ba nghiệm bội lẻ). Xét hàm số có một nghiệm bội lẻ (x 1) và hai nghiệm đơn (x 0; x 2) nên hàm số y f x x 2 chỉ có ba điểm cực trị.
Ví dụ 05. Cho hàm số y f x xác định trên và hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ. Tìm số điểm cực trị của hàm số y f x 3. Lời giải Chọn D Quan sát đồ thị ta có đổi dấu từ âm sang dương qua nên hàm số có một điểm cực trị là x 2. Ta có 2 2 y f x x f x 3 2 3. Mà x 2 là nghiệp kép, còn các nghiệm còn lại là nghiệm đơn nên hàm số 2 y f x 3 có ba cực trị. Ví dụ 06. Biết rằng hàm số f x có đồ thị được cho như hình vẽ bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số y f f x?
Vì hàm số f x có hai điểm cực trị x x 0 2. Quan sát đồ thị ta thấy phương trình f x 0 có một nghiệm bội chẵn x 0 và một nghiệm đơn hoặc bội lẻ x a 2. Kẻ đường thẳng y 2 nhận thấy phương trình f x 2 có một nghiệm đơn hoặc bội lẻ x b a. Do đó y có các điểm đổi dấu là x x a x b 0 2. Vậy hàm số có 4 điểm cực trị.