Cực trị của hàm số trùng phương

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Cực trị của hàm số trùng phương, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Cực trị của hàm số trùng phương:
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG Xét hàm số trùng phương 4 2 y ax bx c với hệ số a ≠ 0. Ta có: 3 2 0 4 2 0 2 x y ax bx b x a. Khi đó: Hàm số có một cực trị 0 0 2 b ab a. Hàm số có ba cực trị 0 0 2 b ab a. Hàm số có một cực trị và cực trị là cực tiểu 0 0 a b. Hàm số có một cực trị và cực trị là cực đại 0 0 a b. Hàm số có hai cực tiểu và một cực đại 0 0 a b. Hàm số có hai cực đại và một cực tiểu 0 0 a b. Bài toán hàm trùng phương có ba cực trị tạo tam giác ABC (rất hay gặp). Tìm điều kiện tồn tại ba điểm cực trị: 0 2 b a. Với điều kiện (*) ta có 2 3 0 A A B B C C xx y b y x xy từ đó 2 2 AB C b b AyB yC y a a.
Do hàm chẵn với x nên các điểm B, C có B C y y. Nhận xét: A Oy B C đối xứng nhau qua Oy nên tam giác ABC luôn là tam giác cân tại A. Ta xét một số tính chất cơ bản thường gặp của hàm số: Tính chất 1: 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân. Do tam giác ABC đã cân tại A nên chỉ có thể vuông cân tại đỉnh A. Khi đó ta có điều kiện AB AC 0 (1) với 2 2 B A C A b b AB y y AC y y. Từ đó (1) 2 0 0 2 B A b AB AC y y a. Giá trị m tìm được kết hợp với điều kiện tồn tại ở (*) cho ta kết quả cuối cùng của bài toán. Ngoài ra ta cũng có thể dùng điều kiện Pitago cho tam giác cân ABC: 222 22 AB AC BC AB BC 2.
Tính chất 2: 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác đều. Tam giác ABC đều khi 2 2 AB BC AB BC (2) với 2 0 2 2 B A b b AB y y BC a a. Từ đó (2) 2 2 2 B A b b y y a a. Giá trị m tìm được kết hợp với điều kiện tồn tại ở (*) cho ta kết quả cuối cùng của bài toán. Tính chất 3: 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có một góc bằng 0 120. Tam giác ABC cân tại A nên 0 BAC 120. Gọi H là trung điểm của BC H y 0 B. Ta có 0 2 2 cos cos 60 2 4 (3) AH AH HAB AB AH AB AH AB AB với 0 2 B A B A b AB y y AH y y từ đó (3) 2 2 4 2 BA BA b yy a.
Giá trị m tìm được kết hợp với điều kiện tồn tại ở (*) cho ta kết quả cuối cùng của bài toán. Tính chất 4: 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích o S S cho trước. Gọi H là trung điểm của BC H y ⇒ (0;B) Khi đó 1 2 2 ABC S AH BC S AH BC S AH BC ∆ với 2 0 B A b BC AH y y từ đó (4) 2 2 4 2 o BA b S yy a. Giá trị m tìm được kết hợp với điều kiện tồn tại ở (*) cho ta kết quả cuối cùng của bài toán. Tính chất 5: 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp R cho trước. Sử dụng công thức diện tích tam giác 2 4 4 1 2 4 abc abc AB AC BC AB SRR R R S AH AH BC. Giải phương trình trên ta được giá trị của m, đối chiếu với (*) cho ta kết luận cuối cùng.
Tính chất 6: 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có trọng tâm G(0;α) cho trước. Ta có điều kiện trong trường hợp này là 2 3 3 ABC A B yyy α α y y. Tính chất 7: 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp r cho trước. Sử dụng công thức diện tích tam giác 1 2 2 2 AH BC S AH BC S pr r p AB AC BC AB BC. Giải phương trình trên ta được giá trị của m, đối chiếu với (*) cho ta kết luận cuối cùng. Một số công thức tính nhanh liên quan đến cực trị của hàm trùng phương (tham khảo). Xét hàm số 4 2 y ax bx c với a ≠ 0 và hàm số có ba điểm cực trị. Khi đó gọi 24 24 b b A cB C aa aa lần lượt là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số 4 2 2 16 2 2 bb b AB AC BC a.
Xét ∆ABC cân, đặt BAC α ta có 2 3 8 tan 2 a b α. Và diện tích 2 5 2 3 4 2 32 bb b S S aa phương trình đường tròn đi qua ba điểm A, B, C là 2 2 x y c n x cn với 2 4 n b a ∆. Đồ thị hàm số 4 2 y ax bx c ab 0 có ba điểm cực trị A Oy B C tạo thành DỮ KIỆN GIẢ THIẾT CÔNG THỨC TÍNH NHANH Tam giác ABC vuông cân tại A 0 α 90 Tam giác ABC đều 0 α 60 BAC α 2 3 8 tan 2 a b α ABC o S S ∆ 5 ABC o r r ∆ (bán kính đường tròn nội tiếp) 2 o b r b a BC m 0 2 0 am b 20 Ab AC n 0 B C Ox (ba điểm cực trị nằm trên cùng một trục tọa độ) 2 b ac 4 0. Tam giác có trọng tâm O(0;0) (gốc tọa độ) 2 b ac 6 0. Tam giác có trực tâm O(0;0) (gốc tọa độ) 3 b a ac 84 0 R R ∆ABC 0 (bán kính đường tròn ngoại tiếp).