Cộng trừ đa thức

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 7 bài viết Cộng trừ đa thức, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 7.

Nội dung bài viết Cộng trừ đa thức:
A TRỌNG TÂM KIẾN THỨC Khi cộng hoặc trừ hai đa thức, ta thường làm như sau: Viết hai đa thức trong dấu ngoặc; Bỏ dấu ngoặc theo quy tắc “dấu ngoặc”; Nhóm các hạng tử đồng dạng; Cộng, trừ các đơn thức đồng dạng. B CÁC DẠNG TOÁN DẠNG 1. Tính tổng, hiệu của hai đa thức Phương pháp giải: Viết hai đa thức trong dấu ngoặc; Bỏ dấu ngoặc theo quy tắc “dấu ngoặc”; Nhóm các hạng tử đồng dạng; Cộng, trừ các đơn thức đồng dạng. VÍ DỤ 1. Tính tổng của hai đa thức 1 M = −5x 2 y + 3xy2 + 7 và N = −6x 2 y + 4xy2 − 5; 2 P = 5,7x 2 y − 3,1xy + 8y 3 và Q = 2,3x 2 y − 8y 3 − 6,9xy. LỜI GIẢI. 1 Ta có M + N = (−5x 2 y + 3xy2 + 7) + (−6x 2 y + 4xy2 − 5) = −5x 2 y + 3xy2 + 7 − 6x 2 y + 4xy2 − 5 = (−5x 2 y − 6x 2 y) + (3xy2 + 4xy2 ) + (7 − 5) = −11x 2 y + 7xy2 + 2. 2 Ta có P + Q = (5,7x 2 y − 3,1xy + 8y 3 ) + (2,3x 2 y − 8y 3 − 6,9xy) = 5,7x 2 y − 3,1xy + 8y 3 + 2,3x 2 y − 8y 3 − 6,9xy = 8x 2 y − 10xy. VÍ DỤ 2. Tính hiệu của hai đa thức 1 M = 15x 2 y − 7xy2 − 6y 3 và N = 12x 2 y − 2y 3 − 7xy2 ; 2 M = 1,2x − 3,5y + 2 và N = 0,2x − 2,5y + 3.
LỜI GIẢI. 1 Ta có M − N = (15x 2 y − 7xy2 − 6y 3 ) − (12x 2 y − 2y 3 − 7xy2 ) = (15x 2 y − 7xy2 − 6y 3 − 12x 2 y + 2y 3 + 7xy2 = (15x 2 y − 12x 2 y) + (−7xy2 + 7xy2 ) + (−6y 3 + 2y 3 ) = 3x 2 y − 4y 3. 2 Ta có M − N = (1,2x − 3,5y + 2) − (0,2x − 2,5y + 3) = 1,2x − 3,5y + 2 − 0,2x + 2,5y − 3 = x − y − 1. 1. Bài tập tự luyện BÀI 1. Tính tổng của hai đa thức 1 M = 2x 2 y + xy2 − 2 và N = −2xy2 + x 2 y + 1; 2 P = 2x 2 y + 9xy2 − 5y 3 và Q = 6x 2 y + xy2. LỜI GIẢI. 1 Ta có M + N = (2x 2 y + xy2 − 2) + (−2xy2 + x 2 y + 1) = 2x 2 y + xy2 − 2 − 2xy2 + x 2 y+) = 3x 2 y − xy2 − 1. 2 Ta có P + Q = (2x 2 y + 9xy2 − 5y 3 ) + (6x 2 y + xy2 ) = 2x 2 y + 9xy2 − 5y 3 + 6x 2 y + xy2 = 8x 2 y + 10xy2 − 5y 3. BÀI 2. Tính tổng và hiệu của hai đa thức P và Q, biết 1 P = xy − x + 1 và Q = 2xy − (xy − x + 5); 2 P = y − [y − (y + x)] và Q = y − [y − x + (2x − 2y)]. LỜI GIẢI. 1 Ta có Q = 2xy − (xy − x + 5) = 2xy − xy + x − 5 = xy + x − 5. Khi đó P + Q = 2xy − 4 và P − Q = −2x + 6. 2 Ta có P = y − [y − (y + x)] = y − (−x) = y + x và Q = y − [y − x + (2x − 2y)] = y − (x − y) = y − x + y = 2y − x.
Khi đó P + Q = 3y và P − Q = 2x − y. BÀI 3. Cho hai đa thức M = 2x 2 + 4xy − 4y 2 và N = 3x 2 − 2xy + 2y 2. Tính giá trị của đa thức M + N tại x = 1, y = −2. LỜI GIẢI. Ta có M + N = 2x 2 + 4xy − 4y 2 + 3x 2 − 2xy + 2y 2 = 5x 2 + 2xy − 2y 2. Thay x = 1, y = −2 vào ta có M + N = 5 · 1 2 + 2 · 1 · (−2) − 2 · (−2)2 = −7. DẠNG 2. Tìm đa thức thỏa mãn đẳng thức Phương pháp giải: Phương pháp chung là sử dụng quy tắc chuyển vế. Nếu M + B = A thì M = A − B. Nếu M − B = A thì M = A + B. Nếu B − M = A thì M = B − A. VÍ DỤ 3. Tìm đa thức M, biết 1 M + (5x 2 − 2xy) = 6x 2 + 9xy − y 2. 2 M − (4xy − 3y 2 ) = x 2 − 7xy + 8y 2. 3 (25x 2 y − 13xy2 + x 3 ) − M = 11x 2 y − 2x 3. LỜI GIẢI. 1 Ta có M + (5x 2 − 2xy) = 6x 2 + 9xy − y 2 ⇒ M = (6x 2 + 9xy − y 2 ) − (5x 2 − 2xy) = x 2 − 11xy − y 2. 2 Ta có M − (4xy − 3y 2 ) = x 2 − 7xy + 8y 2 ⇒ M = (x 2 − 7xy + 8y 2 ) + (4xy − 3y 2 ) = x 2 − 3xy + 5y 2. 3 Ta có (25x 2 y − 13xy2 + x 3 ) − M = 11x 2 y − 2x 3 ⇒ M = (25x 2 y − 13xy2 + x 3 ) − (11x 2 y − 2x 3 ) = 14x 2 y − 13xy2 + 3x 3.
VÍ DỤ 4. Cho đa thức P = x 2 − 2x 2 y + x. Tìm đa thức M thỏa mãn M + P = 3x 2 y + 2x − 1. LỜI GIẢI. Ta có M = (3x 2 y + 2x − 1) − (x 2 − 2x 2 y + x) = −x 2 5x 2 y + x − 1. 2. Bài tập tự luyện BÀI 4. Tìm đa thức N, biết 1 M + (2x − 3y) = x − 4y + 5; 2 M − (2xy − 0,5y 2 ) = −2xy + 5y 2 ; 3 (2x 2 − 3xy + 4y 2 ) − M = 5x 2 + 6xy − 7y 2. LỜI GIẢI. 1 M = −x − y + 5; 2 M = 4,5y 2 ; 3 M = −3x 2 − 9xy + 11y 2. BÀI 5. Cho đa thức Q = 3xy2 − 2xy + x 2 y − 2y 4. Tìm đa thức N thỏa mãn Q − N = 2y 4 + x 2 y + xy2. LỜI GIẢI. Ta có N = Q − (2y 4 + x 2 y + xy2 ) = (3xy2 − 2xy + x 2 y − 2y 4 ) − (2y 4 + x 2 y + xy2 ) = 2xy2 − 2xy − 4y 4. BÀI 6. Tìm đa thức P biết 2 · P + (2x 2 + 3y 2 ) = 6x 2 − 3y 2 − 2x 2 y 2. LỜI GIẢI. Ta có 2 · P = (6x 2 − 3y 2 − 2x 2 y 2 ) − (2x 2 + 3y 2 ) 2 · P = 4x 2 − 6y 2 − 2x 2 y 2 ⇒ P = 2x 2 − 3y 2 − x 2 y 2. BÀI 7. Cho các đa thức A = x 2 − 3xy − y 2 + 2x − 3y + 1; B = −2x 2 + xy + 2y 2 − 3 − 5x + 2y; C = 7y 2 + 3x 2 − 4xy − 6x + 4y + 5.
Rút gọn các đa thức A + B + C, A − B + C, A − B − C rồi xác định bậc của đa thức đó. LỜI GIẢI. 1 Ta có A + B + C = (x 2 − 3xy − y 2 + 2x − 3y + 1) + (−2x 2 + xy + 2y 2 − 3 − 5x + 2y) +(7y 2 + 3x 2 − 4xy − 6x + 4y + 5) = 2x 2 − 6xy + 8y 2 − 9x + 3y + 3. Vậy đa thức A + B + C có bậc 2. 2 Ta có A − B + C = (x 2 − 3xy − y 2 + 2x − 3y + 1) − (−2x 2 + xy + 2y 2 − 3 − 5x + 2y) +(7y 2 + 3x 2 − 4xy − 6x + 4y + 5) = 6x 2 − 8xy + 4y 2 + x − y + 9. Vậy đa thức A − B + C có bậc 2. 3 Ta có A + B + C = (x 2 − 3xy − y 2 + 2x − 3y + 1) − (−2x 2 + xy + 2y 2 − 3 − 5x + 2y) −(7y 2 + 3x 2 − 4xy − 6x + 4y + 5) = −10y 2 + 13x − 9y − 1. Vậy đa thức A − B − C có bậc 2. DẠNG 3. Bài toán liên quan đến chia hết Phương pháp giải: Vận dụng kiến thức về chia hết: Cho a, b, m là hai số nguyên thì Nếu a, b chia hết cho m thì tổng a + b chia hết cho m.
Nếu a chia hết cho m thì tích a · b chia hết cho m. VÍ DỤ 5. Chứng minh rằng abc + bca + cab chia hết cho 37. LỜI GIẢI. Ta có abc+bca+cab = 100a+ 10b+c+ 100b+ 10c+a+ 100c+ 10a+b = 111a+ 111b+ 111c = 111(a+b+c). Do 111… 37 nên 111(a + b + c)… 37 hay abc + bca + cab chia hết cho 37. 3. Bài tập tự luyện BÀI 8. Cho a, b, c là các số nguyên. Đặt A = 3a − 5b, B = 7b − 9c; C = 11c − 13a. Chứng tỏ tích A · B · C là số chẵn. LỜI GIẢI. Xét A + B + C = 3a − 5b + 7b − 9c + 11c − 13a = −10a + 2b + 2c…2. suy ra trong ba số A, B, C phải có một số chãn, do đó tích A · B · C là số chẵn. BÀI 9. Với n là số nguyên dương, chứng minh rằng A = 3n+2 + 3n − 2 n+2 − 2 n chia hết cho 10. LỜI GIẢI. Ta có A = 3n+2 + 3n − 2 n+2 − 2 n = 32 · 3 n + 3n − 2 3 · 2 n−1 − 2 · 2 n−1 = 9 · 3 n + 3n − 8 · 2 n−1 − 2 · 2 n−1 = 10 · 3 n − 10 · 2 n−1. Mà 10 · 3 n… 10 và 10 · 2 n−1… 10 với n nguyên dương nên A…10.