VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Chứng minh phương trình có nghiệm, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.
Nội dung bài viết Chứng minh phương trình có nghiệm:
DẠNG 3. CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM. Phương pháp giải: Để chứng minh phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên D, ta chứng minh hàm số f (x) liên tục trên D và có hai số a, b sao cho f(a).f(b) < 0. Để chứng minh phương trình f(x) = 0 có k nghiệm trên D, ta chứng minh hàm số f(x) liên tục trên D và tồn tại k khoảng rời nhau (a, a) với i = 1; 2; k nằm trong D. Chú ý: Hàm số đã thức liên tục trên IR. Hàm số phân thức và lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng. Khi hàm số đã liên tục trên IR rồi, sẽ liên tục trên mỗi khoảng (a, s) mà ta cần tìm.
Ví dụ 1. Chứng minh phương trình 4x – 8x + 1 = 0 có nghiệm trong khoảng (-1; 2). Lời giải: Đặt f (x) = 4x – 8x + 1 và f (x) là hàm đa thức nên liên tục trên IR, suy ra liên tục trên [-1; 2]. Nghĩa là phương trình f (x) = 4x – 8x + 1 = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (-1; 2). Ví dụ 2. Chứng minh phương trình x – 3x + 1 có đúng ba nghiệm phân biệt. Lời giải: Đặt f(x) = x – 3x + 1 và f(x) là hàm đa thức nên liên tục trên R, suy ra hàm số liên tục trên các đoạn [-2;0], [0;1], [1;2]. Từ (1), (2), (3) suy ra phương trình có ít nhất ba nghiệm phân biệt thuộc các khoảng (-2;0), (0;1), (1;2). Mà f(x) là đa thức bậc ba nên phương trình f(x) = 0 có tối đa ba nghiệm. Suy ra phương trình đã cho có đúng ba nghiệm phân biệt. Chú ý: Với sự hỗ trợ của chức năng mode 7 trong casio, ta dễ dàng tìm được các khoảng (-2;0), (0;1), (1;2) như trên. Công việc còn lại là trình bày sao cho đúng ngôn ngữ. Ví dụ 3. Chứng minh rằng phương trình x + x + 1 = 0 có ít nhất một nghiệm âm lớn hơn -1.