Chứng minh phương trình có nghiệm

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Chứng minh phương trình có nghiệm, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.

Nội dung bài viết Chứng minh phương trình có nghiệm:
Để chứng minh phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên D, ta chứng minh hàm số y = f(x) liên tục trên D và có hai số a, b + D sao cho f(a). f(6) < 0. Để chứng minh phương trình f(x) = 0 có k nghiệm trên D, ta chứng minh hàm số y = f(x) liên tục trên D và tồn tại k khoảng rời nhau (a; 0, -1),(i = 1, 2, …, k) nằm trong D sao cho f(ai). f (ai + 1) < 0. Ví dụ 1. Chứng minh rằng phương trình 274 – 2×3 – 3 = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (-1; 0). Đặt f(z) = 2a4 – 223 – 3. Vì f(x) là hàm đa thức xác định trên IR nên f(x) liên tục trên IR = f(x) liên tục trên (-1; 0). Ta có: f(0) = -3; f (-1) = 1 = f(-1) f(0) < 0. f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (-1; 0) (đpcm). Ví dụ 2. Chứng minh rằng phương trình 60 + 3×2 – 31c + 10 = 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt. Đặt f(x) = 6×3 + 3×2 – 31x + 10. TXD: D = IR = f(x) liên tục trên IR = f(x) liên tục trên (-3; 2). f(z) = 0 có nghiệm thuộc (0; 1). f(1).f(2) < 0 = f(x) = 0 có nghiệm thuộc (1; 2). f(2) = 8 Mặt khác vì f(x) là một đa thức bậc ba nên phương trình f(x) = 0 chỉ có tối đa ba nghiệm. Vậy phương trình f(x) = 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt (đpcm). Ví dụ 3. Chứng minh rằng phương trình x – 1 + sin c = 0 có nghiệm. Xét hàm số f(x) = 0 – 1 + sinx liên tục trên (f(0) = -1. m = f(0).6 < 0. Suy ra phương trình f(z) = 0 có nghiệm do € (0; 4). Vậy phương trình 2 – 1+ sinx = 0 có nghiệm (đpcm). Ví dụ 4. Chứng minh rằng phương trình (m2 + m + 4) = 2017 – 2x + 1 = 0 luôn có ít nhất một nghiệm âm với mọi giá trị của tham số m. Xét hàm số f(z) = (m2 + m + 4) = 2017 – 2x + 1 liên tục trên (-1; 0). Vậy f(x) = 0 luôn có ít nhất một nghiệm âm với mọi giá trị của tham số m (đpcm).