Chứng minh các đẳng thức vectơ, chứng minh ba vectơ đồng phẳng

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Chứng minh các đẳng thức vectơ, chứng minh ba vectơ đồng phẳng, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.

Nội dung bài viết Chứng minh các đẳng thức vectơ, chứng minh ba vectơ đồng phẳng:
Dạng 1: Chứng minh các đẳng thức vectơ, chứng minh ba vectơ đồng phẳng. Phương pháp giải: Để chứng minh ba vectơ đồng phẳng, ta có thể chứng mình bằng một trong các cách: Chứng minh các giá của ba vectơ cùng song song với một mặt phẳng. Dựa vào điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: tồn tai các số m n duy nhất sao cho c ma nb thì 3 vectơ a b c đồng phẳng. Để biểu diễn vectơ x theo 3 vectơ a b c không đồng phẳng ta tìm được các số m, n, p duy nhất sao cho x ma nb pc.
Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J là trung điểm của AB và CD. a) Hãy biểu diễn vectơ IJ theo 3 vectơ AB A AD. b) Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Hãy biểu diễn vectơ AG theo 3 vectơ AB AC AD. Lời giải a) Ta có: IJ IA AJ mặt khác 1 2 IA AI AB 1 2 AJ AC AD (tính chất trung điểm). Do đó 111 222 IJ AB AC AD. b) Ta có: AB AG GB AC AG GC AD AG GD cộng vế theo vế ta được: 3AG GB GC GD AB AC AD.
Mặt khác GB GC GD 0 (do G là trọng tâm tam giác BCD). Do vậy 3 AB AC AD AG. Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD. Lấy các điểm M và N lần lượt thuộc AD và BC sao cho AM MD = 3 NB NC = −3. Biết AB a CD b. a) Hãy biểu diễn vectơ MN theo a và b b) Gọi P và Q lần lượt là trun điểm của AD và BC. Chứng minh rằng ba vectơ MN DC PQ đồng phẳng. c) Gọi G là trung điểm của PQ, chứng minh rằng G là trọng tâm tứ diện ABCD.
Lời giải a) Ta có: MN MD DC CN. Lại có: MN MA AB BN. Lấy (2 3 1) ta được 4 3 MN AB DC. Do đó 1 3 4 4 MN a b. b) Ta có: 2 MN MP PQ QN MN PQ DC MN MD DC CN. Suy ra 1 2 MN PQ DC ba vectơ MN DC PQ đồng phẳng. c) Theo tính chất trung điểm ta có: 2 2 2 GA GD GP GA GB GC GD GP GQ GB GC GQ. Mặt khác GP GQ GA GB GC GD ⇒ G là trọng tâm tứ diện ABCD.
Ví dụ 3: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có AA a AB b AC c. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của BB’ và A’C’, điểm K thuộc B’C sao cho KC KB 2. a) Hãy biểu thị vectơ B C CI và BJ qua 3 vectơ a b c b) Biểu thị vectơ AK theo vectơ AI và AJ từ đó suy ra 3 vectơ AK AI AJ đồng phẳng. Lời giải a) Ta có: BC BC BB (theo quy tắc hình bình hành) Suy ra B C BC A A AC AB AA c b a.
Lại có: CI CB BI AB AC BB b c a. Mặt khác: C 2 2 c BJ BA AA A J AB A b a AC b a. b) Ta có: AK AI IB B K AK AJ JC C K. Lấy 2 1 2 ta được: AK AI AJ IB JC B K C K AI AJ BB A J AI AJ AJ. Vậy 2 3 AK AI AJ. Ví dụ 4: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Đặt BA a BB b BC c. Gọi M và N lần lượt là hai điểm nằm trên AC và DC’ sao cho MN//BD’. Tính tỷ số MN BD.
Lời giải: Giả sử: MC nAC C N mC D. Ta có: BD BD DD BA BC DD a b c. Lại có: MN MC CC C nAC b mC D. Khi đó MN BD MN k BD 1 3 m m n m n MN k k. Ví dụ 5: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi I là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABB’A’ và K là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành BCC’A. Biểu thị vectơ BD theo 2 vectơ IK và C B từ đó suy ra ba vectơ BD IK C B đồng phẳng.
Lời giải: Ta có: BD BC CD C B AD AC (vì AC IK 2). Suy ra BD C B IK. Do đó ba vectơ BD IK C B đồng phẳng. Ví dụ 6: Trong không gian cho tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu có một điểm O trong không gian sao cho OM xOA yOB zOC đồng thời xyz 1 thì điểm M thuộc mặt phẳng (ABC). Lời giải Ta có: OM xOA yOB zOC x y z OM xOA yOB zOC xMA yMB zMC 0. Nếu x yMB zMC ⇒ M, B, C thẳng hàng nên A, B, C, M đồng phẳng. Nếu 0 y z x MA MB MC x x ⇒ A, B, C, M đồng phẳng.