Cho số phức z thỏa mãn |z – z1| = |z – z2|. Tìm số phức thỏa mãn |z – z0| nhỏ nhất

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Cho số phức z thỏa mãn |z – z1| = |z – z2|. Tìm số phức thỏa mãn |z – z0| nhỏ nhất, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Cho số phức z thỏa mãn |z – z1| = |z – z2|. Tìm số phức thỏa mãn |z – z0| nhỏ nhất:
Dạng 1: Cho số phức z thỏa mãn zz zz 1 2. Tìm số phức thỏa mãn z z 0 nhỏ nhất. Phương pháp: Đặt M(z); A(z); B(z) 1 2 là các điểm biểu diễn số phức 1 z z và z2. Khi đó từ giả thiết zz zz 1 2 suy ra MA MB, tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường trung trực ∆ của AB. Gọi N(z) là điểm biểu diễn số phức z0. Ta có MN z z 0 nhỏ nhất khi MN min khi M là hình chiếu vuông góc của N trên d và MN d(N) min ∆.
Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z i zi 4. Gọi z a bi a b là số phức thỏa mãn z i 1 3 nhỏ nhất. Giá trị của biểu thức T ab 2 3 là: A. −4 B. 4 C. 0 D. 1 Lời giải Đặt Mz A (4;1) B(0;1) là các điểm biểu diễn số phức z i 4 và −i. Khi đó từ giả thiết suy ra MA MB tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường trung trực của AB đi qua I(2;0) và có VTPT là n AB ∆ (4;2) 2 4 0 x y.
Gọi N(1;3) là điểm biểu diễn số phức 1 3 i. Ta có z i 1 3 nhỏ nhất khi MN min khi M là hình chiếu vuông góc của N trên ∆, suy ra MN: x 2y 1 0. Giải hệ 2 40 3 3 2 3 2 2 3 0 2 70 2 xy x M z i ab xy y. Chọn C. Ví dụ 2: Cho các số phức z thỏa mãn ziz 2 2. Gọi z là số phức thỏa mãn (2) 5 i z nhỏ nhất. Khi đó : A. 0 1 z B. 1 2 z C. 2 3 z D. z 3 Lời giải.
Gọi M A (x;y) (0;2) B(2;0) là các điểm biểu diễn số phức z i 2 và −2. Từ giả thiết ⇒ MA MB M trung trực của AB có phương trình ∆ 0 x y. Lại có: 5 (2) 5 2 5 2 2 P iz iz z i i gọi N(2;1) là điểm biểu diễn số phức 2 i suy ra P MN 5. Ta có P nhỏ nhất khi MN min khi M là hình chiếu vuông góc của N trên ∆, suy ra phương trình MN: x y 1 0. Giải hệ 1 0 2 11 1 1 2 10 1 22 2 2 2 2 x x y M z iz x y y. Chọn A.