Cho số phức z thỏa mãn |z – z1| = |z – z2|. Tìm số phức thỏa mãn P = |z – z3|2 + |z – z4|2 đạt giá trị nhỏ nhất

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Cho số phức z thỏa mãn |z – z1| = |z – z2|. Tìm số phức thỏa mãn P = |z – z3|2 + |z – z4|2 đạt giá trị nhỏ nhất, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Cho số phức z thỏa mãn |z – z1| = |z – z2|. Tìm số phức thỏa mãn P = |z – z3|2 + |z – z4|2 đạt giá trị nhỏ nhất:
Dạng 4: Cho số phức z thỏa mãn zz zz 1 2. Tìm số phức thỏa mãn 2 2 P zz zz 3 4 đạt giá trị nhỏ nhất. Phương pháp: Đặt M(z) A(z) B(z) H(z) K(z) 12 3 4 là các điểm biểu diễn số phức z z z z 123 và z4. Khi đó từ giả thiết zz zz 1 2 suy ra MA MB tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường trung trực ∆ của AB 2 2 2 2 P z z z z MH MK 3 4.
Gọi I là trung điểm của 222 2 2 4 2 MH MK HK HK HK MI P MH MK MI nhỏ nhất khi MI M min ⇔ là hình chiếu vuông góc của I xuống ∆. Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z izi 24 2. Gọi z là số phức thoả mãn biểu thức 2 2 P zi z i 4 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính 2 z. Lời giải Gọi Mz A (2;4) B(0;2) là các điểm biểu diễn số phức z i 2 4 và 2i.
Khi đó z i z i MA MB M ⇔ 24 2 thuộc trung trực của AB có phương trình ∆ 40 x y Gọi 2 22 2 0 1 4 1 2 2 HK H K P MH MK MI (với I (2;0) là trung điểm của HK). Do đó P ME min ⇔ min hay M là hình chiếu vuông góc của I xuống ∆, khi đó 2 2 IM x y M IM M z OM 2 0 ∆ 1 3 10. Chọn B. Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn z iz i 13 2. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 Pz i z i 24 2 là?
Lời giải Gọi Mz A (1;3) B(1;1) là các điểm biểu diễn số phức z i 1 3 và 1 i. Khi đó z i z i MA MB M 13 1 thuộc trung trực của AB có phương trình ∆ 20 x y. Gọi 2 22 2 2 4 0 2 2 HK H K P MH MK MI (với I (1;3) là trung điểm của HK). Do đó P ME min ⇔ min hay M là hình chiếu vuông góc của I xuống ∆ khi đó 2 2 min 2 8 2 HK P dI. Chọn A.