Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn |z1 – z0| = R và |z2 – w1| = |z2 – w2|, trong đó z0, w1, w2 là các số phức đã biết. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = |z1 – z2|

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn |z1 – z0| = R và |z2 – w1| = |z2 – w2|, trong đó z0, w1, w2 là các số phức đã biết. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = |z1 – z2|, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn |z1 – z0| = R và |z2 – w1| = |z2 – w2|, trong đó z0, w1, w2 là các số phức đã biết. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = |z1 – z2|:
Dạng 6: Cho hai số phức 1 2 z z thỏa mãn 1 0 zz R và z z 21 22 w w trong đó z0 1 2 w w là các số phức đã biết. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 2 P z z. Phương pháp: Đặt M(z) N z 1 2 lần lượt là các điểm biểu diễn số phức 1 z và 2 z. Điểm M thuộc đường tròn tâm I z(0) bán kính R, N thuộc trung trực ∆ của AB với A B (w w 1 2).
Lại có: P MN P d R ⇒ min t ∆. Ví dụ 1: Cho số phức 1z thỏa mãn 2 2 z zi 2 1 và số phức 2 z thỏa mãn z i 4 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của z z 1 2. Lời giải Gọi Mzy là điểm biểu diễn số phức 1z. Khi đó 2 2 z zi 2 1 2 22 2 ⇔ ∆ (x 2) y x y x y (1) 1 4 2 2 2 1 0 x y. Gọi N(a;b) là điểm biểu diễn số phức 2 z. Khi đó 2 2 zi a b ⇔ 4 5 (4) (1) 5. Hay tập hợp điểm N trong mặt phẳng Oxy là đường tròn 2 2 (x 4) (y 1) 5 C.
Ta có 8 5 5 d I c C ∆ R ⇒ ∆ không cắt đường tròn (C). Lại có MN z z ⇒ 1 2 dựa vào hình vẽ ta thấy min ⇔ ∆ MN MN d I R C C. Hay 1 2 min 85 35 5 5 5 z z. Chọn D. Bài toán có thể hỏi thêm là tìm số phức 1z hoặc 2 z để 1 2 min z z thì ta chỉ cần viết phương trình đường thẳng MN ⊥ ∆ sau đó tìm giao điểm M MN N C MN.
Ví dụ 2: Cho hai số phức 1 2 z z thỏa mãn 1z 5 5 và 2 2 z iz i 13 36. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Pzz 1 2 A. min 5 2 P B. min 15 2 P C. min P 3 D. min P 10. Lời giải Gọi Mz Nz (1 2) lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức 1z và 2 z. Điểm M thuộc đường thẳng tròn tâm I (−5;0) bán kính R = 5. Điểm N thuộc đường thẳng trung trực ∆ của AB với 35 1 3 B 3 6 4 3 0 2 A ⇒ ∆ x y. Lại có: 5 2 ∆ P MN P d R ⇒ min I. Chọn A.