Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn |z1 – w1| = R1 và |z2 – w2| = R2 trong đó w1, w2 là các số phức đã biết. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức P = |z1 – z2|

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn |z1 – w1| = R1 và |z2 – w2| = R2 trong đó w1, w2 là các số phức đã biết. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức P = |z1 – z2|, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn |z1 – w1| = R1 và |z2 – w2| = R2 trong đó w1, w2 là các số phức đã biết. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức P = |z1 – z2|:
Dạng 7: Cho hai số phức 1 2 z z thỏa mãn 11 1 zw R và z R 21 2 w trong đó w w1 2 là các số phức đã biết. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức Pzz 1 2. Phương pháp: Đặt M(z) N z 1 2 lần lượt là các điểm biểu diễn số phức 1 z và 2 z. Điểm M thuộc đường tròn tâm (C1) tâm I (w1) bán kính R1 và N thuộc đường tròn (C2) tâm K (w2) bán kính R P MN 2. Dựa vào các vị trí tương đối của 2 đường tròn để tìm min MN MN max.
Ví dụ 1: Cho hai số phức z w thỏa mãn z z 1 và w34 2 i. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P z w A. 5 Pmax B. max P 8 C. max P 10 D. max P 5 2 Lời giải Ta có: zz z 1 1. Gọi Mz N w lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức z và w. Điểm M thuộc đường tròn tâm (C1) tâm O(0;0) bán kính 1 R 1 và N thuộc đường tròn (C2) tâm K(3;4) bán kính 2 R P MN 2.
Dễ thấy 1 2 OK R R 5 nên (C1) và (C2) nằm ngoài nhau suy ra 1 2 8 MN OK R R max. Chọn B. Ví dụ 2: [Đề tham khảo Bộ GD & ĐT 2018] Xét các số phức z a bi a thỏa mãn điều kiện z i 43 5. Tính P ab khi giá trị biểu thức z iz i 13 1 đạt giá trị lớn nhất A. P = 10 B. P = 4 C. P = 6 D. P = 8 Lời giải Gọi M xy là điểm biểu diễn số phức z.
Từ giả thiết, ta có 2 2 zi x y M ⇒ 43 5 4 3 5 thuộc đường tròn (C)tâm I (4;3), bán kính R = 5. Khi đó P MA MB với A B (1 3 1 1). Ta có 222 2 2 P MA MB MA MB MA MB 2 2. Gọi E (0;1) là trung điểm 222 2 2 4 MA MB AB AB ME. Do đó 2 22 P ME AB 4 mà ME CE 3 5 suy ra 2 2 2 P 4 3 5 2 5 200. Với C là giao điểm của đường thẳng EI với đường tròn (C).
Vậy P 10 2. Dấu xảy ra (6 4 10) MA MB M ab M C. Chọn A. Ví dụ 3: [Đề tham khảo Bộ GD & ĐT 2017] Xét các số phức z thỏa mãn điều kiện: z iz i 2 4 7 62. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z i 1. Tính PMm. Lời giải Đặt z x yi x y và gọi M xy A B (2 1 4 7) suy ra AB 6 2. Ta có (6 6 1 1) AB n phương trình đường thẳng AB là x y 3 0.
Từ giả thiết, ta có MA MB MA MB AB 6 2 suy ra M thuộc đoạn thẳng AB. Gọi 2 2 min max max 1 1min z i MN N z i x y MN z i MN. Độ dài đoạn thẳng MN nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu của N trên AB. Hay min 2 2 1 13 52 52 2 2 1 1 MN d N AB m. Độ dài đoạn thẳng MN lớn nhất khi và chỉ khi M A hoặc M B. Ta có 13 73 73 max M A MN AN MN M M B MN BN.
Vậy giá trị biểu thức 5 2 2 73 2 PMm. Chọn B. Ví dụ 4: Xét các số phức z thỏa mãn điều kiện: z iz i 1 7 4 35. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z i 5 2. Tính P Mm Lời giải Đặt z x yi x y và gọi M xy A B suy ra AB 3 5. Ta có AB n (6 3 1 2) AB phương trình đường thẳng AB là x y 2 10. Từ giả thiết, ta có MA MB MA MB AB 3 5 suy ra M thuộc đoạn thẳng AB. Gọi min max 5 2 5 2 5 2 min max z i MN N z i MN z i MN.
Độ dài đoạn thẳng MN nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu của N trên AB. Hay min 2 2 52 2 1 25 25 1 2 MN d N AB m. Độ dài đoạn thẳng MN lớn nhất khi và chỉ khi M A hoặc M B. Ta có 5 2 10 2 10 2 10 max M A MN AN MN M M B MN BN Vậy giá trị biểu thức PMm 2 5 10. Chọn C. Ví dụ 5: Biết số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z i 34 5 và biểu thức 2 2 M z zi 2 đạt giá trị lớn nhất. Tính môđun của số phức z i.
Lời giải Gọi z x yi x y. Ta có: 2 2 zi x y ⇔ 34 5 3 4 5 tập hợp điểm biểu diễn số phức z là dường tròn (C) tâm I (3;4) và R = 5. Mặt khác: 2 2 1 423 M z zi x y x y x y ⇔ dx y M 4 2 3 0. Do số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện nên d và (C) có điểm chung 23 R 5 23 10 13 33 M d Id M M 3 45 5 max M zi i zi x y y. Chọn D. Ví dụ 6: Cho hai số phức 1z và 2 z thỏa mãn 1 2 zz i 8 6 và 1 2 z z 2. Tìm giá trị lớn nhất của 1 2 Pz z?
Lời giải Đặt A (z Bz 1 2) theo giả thiết ta có: (8;6) OA OB OA OB P OA OB. Chọn C. Ví dụ 7: [Đề thi thử chuyên Đại học Vinh 2018] Giả sử 1 2 z z là hai trong các số phức z thỏa mãn iz i 2 1 và 1 2 z z 2. Giá trị lớn nhất của z z 1 2 bằng? Lời giải Ta có: iz i i x yi i 21 21 (với z x yi x y) ⇔ x y My 1 2 1 x biểu diễn z thuộc đường tròn tâm I (1;2) bán kính R = 1.
Giả sử A (z Bz 1 2) do 1 2 z z AB R nên AB là đường kính của đường tròn (I;R) Lại có: z z OA OB 1 2. Mặt khác theo công thức trung tuyến ta có: 22 2 2 2 2 8 OA OB AB OI OA OB. Theo BĐT Bunhiascopky ta có 2 2 2 2 4 OA OB OA OB OA OB. Chọn D. Ví dụ 8: Cho 1 2 z z là hai trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z i 53 5 và 1 2 z z 8. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức z z 1 2 là? Lời giải Giả sử w 1 2 z z. Đặt 1 1 2 2 w 53 w 53 z i z i suy ra w w 10 6 w 10 6 w w w 10 6 1 2 12.
Mà 1 2 1 2 12 ww5 ww 8 z z. Vậy w 10 6 w w 36 6 w ⇒ 1 2 i thuộc đường tròn tâm I (10;6), bán kính R = 6. Cách 2: Gọi A (z Bz 1 2) biểu diễn số phức 1 2 z z. Ta có: tập hợp z là đường tròn tâm I (5;3) bán kính R AB 5 8. Gọi H là trung điểm của ⇒ w 1 2 2 1 AB z z OA OB OH. Mặt khác 2 2 IH IA HA ⇒ 3 tập hợp điểm H là đường tròn 2 xy C 5 39. Giả sử 2 2 5 3 9 10 6 36 ab a b ab H C a b. Do đó tập hợp điểm biểu diễn w thuộc đường tròn tâm I (10;6), bán kính R = 6. Ta có: min w OI R 2 34 6. Chọn B.