VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Chỉnh hợp, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.
Nội dung bài viết Chỉnh hợp:
Chỉnh hợp. Phương pháp. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng. Ví dụ 1: Từ 10 bông hoa có chủng loại khác nhau và 4 cái lọ khác nhau, có bao nhiêu cách cắm 4 bông hoa vào 4 lọ và mỗi lọ 1 bông hoa? Số cách cắm 4 bông hoa từ 10 bông hoa khác nhau vào 4 lọ khác nhau là một bộ 4 bông hoa có thứ tự. Ví dụ: Gọi 4 bông hoa được chọn là A, B, C, D và 4 lọ hoa là. Hai cách cắm sau đây là khác nhau: Do đó số cách cắm bông theo yêu cầu bài toán là A. Ví dụ 2: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể thành lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số khác nhau và trong đó phải có chữ số 1? Cách 1: Đem chữ số 1 xếp trước. Số cách xếp chữ số 1 vào 1 trong 4 vị trí là: 4 (cách). Số cách xếp 4 chữ số còn lại vào 3 vị trí còn lại là A (cách). Vậy số các số tự nhiên cần tìm là: 4 x A = 96 (số). Cách 2: Dùng phần bù: Số các số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau (không cần biết có hay không có chữ số 1) lấy từ {1, 2, 3, 4, 5} là AB = 120 (số). Phần bù của tập các số phải có chữ số 1 là tập các số không có chữ số 1. Số các số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau (và không có chữ số 1) lấy từ {2, 3, 4, 5} là P = 24 (số). Vậy số các số tự nhiên cần tìm là: 120 – 24 = 96 (số).
Ví dụ 3: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập thành bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số khác nhau đôi một? Do đó số cách thành lập các số tự nhiên theo yêu cầu bài toán là số các chỉnh hợp chập 3 của 6 (chữ số). Ví dụ 4: Từ 10 điểm phân biệt và không có ba điểm nào thẳng hàng, có thể lập được bao nhiêu vectơ? Hướng dẫn giải. Để có một vectơ ta cần có 2 điểm phân biệt và để ý hai vectơ AB và BA là khác nhau. Do vậy số cách thành lập các vectơ là số cách chọn 2 điểm có thứ tự từ 10 điểm của đề bài. Nghĩa là số cách thành lập các vectơ là số các chỉnh hợp chập 2 của 10 (điểm). Ví dụ 5: Một lớp có 30 học sinh gồm 20 nam và 10 nữ. Có bao nhiêu cách chọn 2 học sinh nam thi toán, lý và 2 học sinh nữ thi hóa, sinh? (Mỗi học sinh thi một môn). Hướng dẫn giải. Số cách chọn 2 trong 20 nam thi toán, lý là Ago (cách). Số cách chọn 2 trong 10 nữ thi hóa, sinh là A7% (cách). Vậy số cách chọn theo yêu cầu bài toán là Ax A7% (cách).
Ví dụ 6: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể thành lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số trong đó phải có chữ số lẻ? Số các số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau (không cần biết có hay không có chữ số lẻ) lấy từ các chữ số {1, 2, 3, 4, 5, 6} là AB = 120 (số). Số các số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau (cả 3 chữ số đều chẵn) lấy từ {2, 4, 6} là P = 6 (số). Vậy số các số tự nhiên cần tìm là: 120 – 16 = 114 (số). Ví dụ 7: Có bao nhiêu số có hai chữ số, mà các chữ số đều là số lẻ và khác nhau? Hướng dẫn giải. Xét tập A = {1, 3, 5, 7, 9}; có 5 phần tử. Số n = ab. Vậy Có AB = 20. Ví dụ 8: Có thể có tối đa là bao nhiêu số điện thoại gồm 7 chữ số và các chữ số đều khác nhau?
Ví dụ 9: Có 10 môn học và một ngày học 5 tiết. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các môn học trong ngày đó? Hướng dẫn giải Chọn 5 môn trong 10 môn cho ngày hôm đó, sau đó thay đổi thứ tự 5 môn học. Ví dụ 10: Cho tập A = {1, 2, 3,…9}. Có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số, các chữ số đôi một khác nhau và các chữ số 2; 4; 5 đồng thời có mặt?. Xét ba vị trí trong 5 vị trí của số có 5 chữ số cần tìm để cho các chữ số 2, 4, 5. Ta Có AB cách chọn. Còn lại hai vị trí cho các số khác trong A \{2, 4, 5}. Ta còn 6 chữ số. Vậy có AB cách chọn. Cuối cùng, ta được: AB.AB = 1800. Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Có bao nhiêu cách xếp khác nhau cho 6 người ngồi vào 4 chỗ trên một bàn dài? Số cách xếp khác nhau cho 6 người ngồi vào 4 chỗ trên một bàn dài là một chỉnh hợp chập 4 của 6 phần tử. Suy ra có A = 360 cách.
Câu 2: Giả sử có bảy bông hoa khác nhau và ba lọ hoa khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách cắm ba bông hoa vào ba lọ đã cho (một lọ cắm một bông)? Số cách xếp bảy bông hoa khác nhau vào ba lọ hoa khác nhau là một chỉnh hợp chập 3 của 7 phần tử. Suy ra có A = 210 cách. Câu 3: Có bao nhiêu cách cắm 3 bông hoa vào 5 lọ khác nhau (một lọ cắm không quá một một bông)? Số cách cắm 3 bông hoa vào ba lọ hoa khác nhau là một chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử. Suy ra có A = 60 cách. Câu 4: Có bao nhiêu cách mắc nối tiếp 4 bóng đèn được chọn từ 6 bóng đèn khác nhau? Số cách mắc nối tiếp 4 bóng đèn được chọn từ 6 bóng đèn khác nhau là một chỉnh hợp chập 4 của 6 phần tử. Suy ra có A = 360 cách. Trong mặt phẳng cho một tập hợp gồm 6 điểm phân biệt. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ 6 có điểm đầu và điểm cuối thuộc tập hợp điểm này?