Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức √A2 = |A|

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 9 bài viết Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức √A2 = |A|, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 9.

Nội dung bài viết Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức √A2 = |A|:
BÀI 2. CĂN THỨC BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC p A2 = |A| A TÓM TẮT LÍ THUYẾT Điều kiện để p A có nghĩa p A có nghĩa khi và chỉ khi A ≥ 0. 1 Hằng đẳng thức p A2 = |A| p A2 = |A| = A nếu A ≥ 0 − A nếu A < 0. B CÁC DẠNG TOÁN 1 PHÁ DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI Ví dụ 1. Tính |x − 1|. Lời giải. Ta có |x − 1| = x − 1 nếu x − 1 ≥ 0 − (x − 1) nếu x − 1 < 0 x − 1 nếu x ≥ 1 1 − x nếu x < 1. Ví dụ 2. Bỏ dấu giá trị tuyệt đối và rút gọn biểu thức: C = |x − 1| + 2|x + 2| + 3. Lời giải. Nhận xét rằng x − 1 = 0 ⇔ x = 1 và x + 2 = 0 ⇔ x = −2. Do đó để bỏ được dấu giá trị tuyệt đối của C ta cần xét các trường hợp sau 1 Nếu x ≤ −2 ta được C = −(x − 1) − 2(x + 2) + 3 = −3x. 2 Nếu −2 ≤ x ≤ 1 ta được C = −(x − 1) + 2(x + 2) + 3 = x + 8. 2 ĐIỀU KIỆN ĐỂ pA CÓ NGHĨA Ví dụ 3. Tìm điều kiện của x để p − 2x + 1 tồn tại. Lời giải. Để p − 2x + 1 tồn tại, điều kiện là −2x + 1 ≥ 0 ⇔ 2x − 1 ≤ 0 ⇔ x ≤ 1 2. Vậy p − 2x + 1 tồn tại khi và chỉ khi x ≤ 1. Ví dụ 4. Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa A Lời giải. 1 Để A có nghĩa, điều kiện là 5x + 10 > 0 ⇔ x > −2. Vậy với x > −2 thì A có nghĩa. Để B có nghĩa, điều kiện là 2x + 1 ≥ 0 Ví dụ 9. Cho biểu thức A = p 9×2 − 6x + 1 1 Tìm tập xác định của A. 2 Rút gọn biểu thức A. 3 Tính giá trị của A tại x = 1. Tìm giá trị của x để A = 1 3 4. 5 Tìm giá trị của x để A < 0. 1 Điều kiện để biểu thức A có nghĩa. Ở câu này ta có thể làm cách khác nhanh hơn nhờ việc đánh giá được: |3x − 1| > 0 (Tập xác định: x 6).
1 Xét bất đẳng thức, vì hai vế không âm nên bình phương hai vế ta được 2 ≥ (a + b) 2 a b luôn đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh và dấu = xảy ra khi ab ≥ 0 tức là khi a và b cùng dấu. 2 Ta viết A = p 2006 − x Vậy ta được min A = 1, đạt được khi (2006 − x)(2005 − x) ≥ 0 ⇔ 2005 ≤ x ≤ 2006. Trong câu a chúng ta đã sử dụng phép bình phương để khử căn, rồi từ đó nhận được bất đẳng thức đúng. Tuy nhiên, ta cũng có thể chứng minh bằng cách biến đổi: pa2 + pb2 ≥ p(a + b)2 ⇔ |a| + |b| ≥ |a+ b|. Ta thấy ngay đẳng thức trên luôn đúng (vì đã được chứng minh trong phần bất đẳng thức chứa dấu trị tuyệt đối). 4 PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH Ví dụ 1. Tìm x biết p(x + 1) Lời giải. 1 Ta biến đổi về dạng Vậy ta nhận được hai giá trị x = 8 và x = −10. Vậy nghiệm của phương trình là x ≤ 3. Trong lời giải câu b chúng ta đã sử dụng tính chất |a| = −a ⇔ a ≤ 0. Lời giải. 1 Điều kiện có nghĩa x − 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2. Biến đổi phương trình về dạng Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2 và x = 3. 2 Điều kiện có nghĩa x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1. Biến đổi bất phương trình về dạng p x − 1 ≤ x − 1 Vậy bất phương trình có nghiệm x = 1 hoặc x ≥ 2.
C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Tìm tập xác định của các biểu thức sau: 1 Để A có nghĩa thì 5x + 40 ≥ 0 ⇔ x ≥ −8. Vậy tập xác định D = [−8;+∞); 2 Để B có nghĩa thì x2 − 4 > 0 ⇔ x > 2 x < −2. Vậy tập xác định D = (−∞;−2)∪(2;+∞); 1 Rút gọn biểu thức A; 2 Tính giá trị biểu thức A với x = 5; 3 Tìm giá trị của x để biểu thức A = 1. 1 Rút gọn biểu thức A; 2 Tính giá trị biểu thức A với x = −1;Tìm giá trị của x để biểu thức A = 0. 1 Ta có thể lựa chọn một trong hai cách trình bày sau: Cách 1. Giải theo kiểu đặt điều kiện có nghĩa rồi biến đổi. Vậy phương trình có hai nghiệm là x = 1 và x = 4. Cách 2. Giải theo kiểu biến đổi tương đương. Đề nghị các em học sinh giải theo hai cách đã biết. Cách 1. Giải theo kiểu đặt điều kiện có nghĩa rồi biến đổi. Cách 2. Giải theo kiểu biến đổi tương đương. Ở đây trình bày theo cách đặt ẩn phụ để các em làm quen.