Các trường hợp đồng dạng của tam giác

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 8 bài viết Các trường hợp đồng dạng của tam giác, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 8.

Nội dung bài viết Các trường hợp đồng dạng của tam giác:
A TÓM TẮT LÍ THUYẾT Định lí 1. Hai tam giác đồng dạng với nhau nếu Ba cạnh của tam giác này tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia (trường hợp cạnh – cạnh – cạnh). Hai cạnh của tam giác này tương ứng tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và các góc xen giữa hai cạnh ấy bằng nhau (trường hợp cạnh – góc – cạnh). Hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia (trường hợp góc – góc). B CÁC DẠNG TOÁN DẠNG 1. Trường hợp cạnh – cạnh – cạnh Phương pháp giải: VÍ DỤ 1. Hai tam giác sau có đồng dạng không nếu độ dài các cạnh của chúng bằng 8 cm, 12 cm, 18 cm và 27 cm, 18 cm, 12 cm?
LỜI GIẢI. Gọi hai tam giác có độ dài các cạnh theo yêu cầu đề bài là 4ABC và 4DEF. Xét 4ABC và 4DEF ta có AB DE = AC DF = BC EF = 2 3. ⇒ 4ABC v 4DEF (c-c-c). 8 12 12 18 18 27 A D B C E F VÍ DỤ 2. Có thể khẳng định rằng hai tam giác có hai cặp cạnh bằng nhau và ba cặp góc bằng nhau thì hai tam giác ấy bằng nhau hay không? LỜI GIẢI. Không thể khẳng định như vậy. Hai tam giác ở Ví dụ 1 có hai cặp cạnh bằng nhau và ba cặp góc bằng nhau (vì hai tam giác đồng dạng) nhưng không phải là hai tam giác bằng nhau. 1. Bài tập tự luyện BÀI 1. Tứ giác ABCD có AB = 4 cm, BC = 20 cm, CD = 25 cm, AD = 8 cm, BD = 10 cm. Hãy xác định dạng của tứ giác. LỜI GIẢI. Xét 4ABD và 4BDC ta có AB BD = AD BC = BD CD = 2 5. ⇒ 4ABD v 4BDC (c-c-c). ⇒ ABD = BDC. Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AB k CD. ⇒ ABCD là hình thang. 4 20 25 8 10 A B D C BÀI 2. Tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c và a 2 = bc. Chứng minh rằng tam giác ABC đồng dạng với tam giác có độ dài các cạnh bằng độ dài ba đường cao của tam giác ABC.
LỜI GIẢI. Gọi độ dài ba đường cao kẻ từ A, B, C của 4ABC lần lượt là ha, hb, hc. Gọi tam giác 4DEF là tam giác có độ dài các cạnh bằng độ dài ba đường cao của 4ABC. Ta có 1 2 · a · ha = 1 2 · b · hb = 1 2 · c · hc (cùng là diện tích 4ABC). c b hb a hc ha A D B C E F ⇒ a · ha = b · hb = c · hc. ⇒ a · ha bc = b · hb bc = c · hc bc. Mà bc = a 2 (giả thiết) nên a · ha a 2 = hb c = hc b. ⇒ ha a = hb c = hc b. Xét 4ABC và 4DEF ta có AB DE = AC DF = BC EF (vì ha a = hb c = hc b). ⇒ 4ABC v 4DEF (c-c-c). Vậy tam giác ABC đồng dạng với tam giác có độ dài các cạnh bằng độ dài ba đường cao của tam giác ABC. DẠNG 2. Trường hợp cạnh – góc – cạnh Phương pháp giải: VÍ DỤ 3. Tam giác ABC có AB = 12 cm, AC = 18 cm, BC = 27 cm, điểm D thuộc cạnh BC sao cho CD = 12 cm. Tính độ dài AD.
LỜI GIẢI. Xét 4CAD và 4CBA ta có Cb là góc chung, CA CB = CD CA = 2 3. ⇒ 4CAD v 4CBA (c-g-c). ⇒ AD BA = CD CA. ⇒ AD = 8 (cm). 12 18 12 27 A B D C 2. Bài tập tự luyện BÀI 3. Tam giác ABC có AB = 4 cm, AC = 6 cm, BC = 8 cm, M là trung điểm của BC, D là trung điểm của BM. Tính độ dài AD. LỜI GIẢI. M là trung điểm của BC nên BM = BC 2 = 4. D là trung điểm của BM nên BD = BM 2 = 2. Xét 4BAD và 4BCA ta có B là góc chung, BA BC = BD BA = 1 2. 4 6 8 A B D M C ⇒ 4BAD v 4BCA (c-g-c). ⇒ AD CA = BA BC. ⇒ AD = 3 (cm). BÀI 4. Tam giác ABC có AB = 4 cm, AC = 5 cm, BC = 6 cm. Chứng minh rằng Ab = 2Cb. LỜI GIẢI. Ta có BE = BA + AE = 9 (cm). Xét 4BAC và 4BCE ta có B là góc chung, BA BC = BC BE = 2 3. ⇒ 4BAC v 4BCE (c-g-c). ⇒ ACB = E. (1) Ta có AE = AC = 5 cm ⇒ 4ACE cân tại A. ⇒ ACE = E. (2) 4 5 6 5 A E B C Từ (1) và (2) ta có ACB + ACE = E + E ⇒ BCE = 2 · E. Mặt khác ACB = E, BAC = BCE (vì 4BAC v 4BCE) nên BAC = 2 · ACB.
BÀI 5. Cho đoạn thẳng AB = a. Gọi C là điểm đối xứng với A qua B. Vẽ điểm D sao cho DA = a, DC = 2a. Gọi M là trung điểm của AB. Tính độ dài DM. LỜI GIẢI. Vì C đối xứng với A qua B nên AC = 2AB = 2a. Vì M là trung điểm của AB nên AM = AB 2 = a 2. Xét 4MAD và 4DAC ta có Ab là góc chung, a 2a D A M B C AM AD = AD AC = 1 2. ⇒ 4MAD v 4DAC (c-g-c). ⇒ MD CD = AD AC. ⇒ MD = a. BÀI 6. Chỉ bằng compa, hãy dựng trung điểm M của đoạn thẳng AB cho trước, cho biết tia Bx là tia đối của tia BA. LỜI GIẢI. Dựng đường tròn (B; BA) cắt tia Bx ở C. Dựng hai đường tròn (A; AB) và (C; CA) cắt nhau tại D. Dựng đường tròn (D; DA) cắt AB ở M. Vậy ta đã dựng được M là trung điểm của AB. x D A M B C DẠNG 3. Trường hợp góc – góc Phương pháp giải: VÍ DỤ 4. Cho tam giác ABC, đường phân giác AD. Giả sử AC = b, AB = c, DB = m, DC = n. Kẻ tia Cx sao cho DCx = BAD (tia Cx khác phía với A đối với BC).
1 Chứng minh rằng AD · DI = mn. 2 Chứng minh rằng AD2 = bc − mn. LỜI GIẢI. 1 Chứng minh rằng AD · DI = mn. Xét 4ABD và 4CID ta có BAD = ICD (giả thiết), BDA = IDC (đối đỉnh). ⇒ 4ABD v 4CID (g-g). ⇒ B = Ib và AD BD = CD ID. ⇒ AD · DI = DB · DC = mn. (1) c b m n A x B C I D 2 Chứng minh rằng AD2 = bc − mn. Xét 4ABD và 4AIC ta có BAD = IAC (giả thiết), B = Ib (chứng minh trên). ⇒ 4ABD v 4AIC (g-g). ⇒ AB AI = AD AC. ⇒ AD · AI = AC · AB = bc. (2) Từ (1) và (2) suy ra AD · AI − AD · DI = bc − mn. ⇒ AD(AI − DI) = bc − mn ⇒ AD2 = bc − mn. 3. Bài tập tự luyện BÀI 7. Cho tam giác ABC (AB AC) đường phân giác AD. Đường trung trực của AD cắt BC ở K. 1 Chứng minh rằng 4KAB v 4KCA. 2 Tính độ dài KD biết rằng BD = 2 cm, DC = 4 cm.
LỜI GIẢI. 1 Chứng minh rằng 4KAB v 4KCA. Do K thuộc đường trung trực của AD nên KA = KD. ⇒ 4KAD cân tại K. ⇒ KDA = KAD. ⇒ DAC + DCA = KAB + BAD (KDA là góc ngoài tại đỉnh D của 4DAC). A K B D C Mà DAC = BAD (AD là phân giác của 4ABC) nên DCA = KAB. Xét 4KAB và 4KCA ta có AKC là góc chung, KAB = KCA (chứng minh trên). ⇒ 4KAB v 4KCA (g-g). 2 Tính độ dài KD biết rằng BD = 2 cm, DC = 4 cm. Ta có KB KA = AB AC (vì 4KAB v 4KCA), AB AC = BD CD (AD là phân giác của 4ABC). Suy ra KB KA = 1 2. Mà KA = KD (chứng minh trên) nên KD = 2KB. ⇒ KD = 2BD = 4 (cm).