Các bài toán tiệm cận của đồ thị hàm số chứa tham số

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Các bài toán tiệm cận của đồ thị hàm số chứa tham số, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Các bài toán tiệm cận của đồ thị hàm số chứa tham số:
Dạng 4: Các bài toán tiệm cận của đồ thị hàm số chứa tham số Một số mẫu toán thường gặp: Mẫu 1: Biện luận số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số ax b y cx d với c ≠ 0. – Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng khi ad bc 0. Mẫu 2: Biện luận số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 2 0 ax bx c y x x với a ≠ 0. – Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng khi 2 g x ax bx c 0 không có nghiệm x x gx 0 0 0. – Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng khi 2 g x ax bx c 0 có nghiệm x x gx 0 0. Mẫu 3: Biện luận số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 0 2 x x y C ax bx c với a ≠ 0.
Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng khi 2 g x ax bx c 0 có hai nghiệm phân biệt khác 0 0 x g x ∆. – Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng khi g x 0 có nghiệm kép ⇔ ∆ = 0. – Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng khi g x 0 vô nghiệm ⇔ ∆ 0. Mẫu 4: Biện luận số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 2 1 2 ax bx c y C với 1 2 a xx 0. – Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng khi phương trình 2 g x ax bx c 0 không nhận 1 2 x x là nghiệm 0 0 g x g x. – Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng khi phương trình 2 g x ax bx c 0 có nghiệm 1 x x hoặc 1 2 2 0 g x (Chú ý hai điều kiện này không đồng thời xảy ra).
Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng khi 2 g x ax bx c 0 nhận 1 x x và 2 x x là nghiệm 0 g x g x. Mẫu 5: Biện luận số tiệm cận ngang của đồ thị hàm số f x y g x. – Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang bậc của mẫu số lớn hơn hoặc bậc của mẫu số và phải tồn tại các giới hạn limx y +∞ hoặc limx y −∞. Ví dụ 1: [Đề thi minh họa Bộ GD&ĐT năm 2017]: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số: 2 1 1 x y mx có 2 tiệm cận ngang. A. Không có giá trị thực nào của m thỏa mãn yêu cầu đề bài. B. m 0 C. m = 0 D. m 0 Lời giải Với m 0 ta có: x x y mx m m là một tiệm cận ngang.
Khi đó đồ thị hàm số có 2 tiệm cận. Với m = 0 suy ra 1 1 x y đồ thị hàm số không có hai tiệm cận ngang. Với m 0 đồ thị hàm số cũng không có tiệm cận ngang vì không tồn tại limx y ∞. Chọn D. Ví dụ 2: Tập hợp các giá trị thực của m để hàm số 2 2 1 44 1 x y x mx có đúng một đường tiệm cận là Lời giải Dễ thấy đồ thị hàm số luôn có tiệm cậ ngang y = 0. Để đồ thị hàm số có một tiệm cận thì đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng. Khi đó phương trình 2 4 4 10 x mx vô nghiệm. Chọn D. Ví dụ 3: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số 2 2 3 x xm y x m không có tiệm cận đứng.
Lời giải: Để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng x m thì là nghiệm của 2 px x x m 2 3. Chọn D. Ví dụ 4: Tìm tất cả giá trị thực của m để đồ thị hàm số 2 x 1 y x mx m có đúng một tiệm cận đứng. Lời giải Xét phương trình 2 g x x mx m 0. Đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận ⇔ g x 0 có 2 nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm bằng 1 hoặc g x 0 có nghiệm kép khác 1 21 0 m m. Chọn C. Ví dụ 5: Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để đồ thị hàm số 2 2 2 x xm có hai tiệm cận đứng. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng khi và chỉ khi PT 2 fx x x m 2 0 có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn x m f m x m. Chọn D.
Ví dụ 6: Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 1 x m y x có đúng hai đường tiệm cận. Lời giải Ta có: D. Khi đó lim lim 0 x x 1 nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 0. Chú ý: Với 1 m y x x khi đó đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng. Với m ≠ 1 đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng. Do đó để đồ thị hàm số có 2 tiệm cận đứng thì m ≠ 1. Chọn A. Ví dụ 7: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số 2 1 mx y x có tiệm cận đứng. Lời giải Đồ thị hàm số có TCĐ ⇔ g x mx 2 0 không có nghiệm xg m 1 0 2. Chọn D.
Ví dụ 8: Tìm tất cả các giá trị m để đồ thị hàm số 2 2 3 2 x m y x x có đúng một tiệm cận đứng. Lời giải Ta có 2 2 2 32 1 2 xm xm đặt 2 fx x m. Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng khi và chỉ khi 2 0 4 0 f m. Chọn A. Ví dụ 9: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 2 x 4 y x m có 3 tiệm cận nên đồ thị hàm số luôn có 2 tiệm cận ngang. Để đồ thị hàm số có 3 tiệm cận thì nó có 1 tiệm cận đứng 2 ⇔ gx x m có nghiệm kép hoặc có 2 nghiệm phân biệt trong đó có nghiệm 0 4 16 m x. Chọn A. Ví dụ 10: Tìm các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số 2 2 1 2 1 m xx y có đúng một tiệm cận ngang.