Các bài toán đếm

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Các bài toán đếm, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.

Nội dung bài viết Các bài toán đếm:
Để sử dụng khái niệm tổ hợp trong các bài toán đếm ta cần lưu ý đến đặc điểm quan trọng của khái niệm này là các phần tử không sắp thứ tự. Ví dụ 1. Từ một đội tuyển bóng đá gồm 20 cầu thủ người ta cần cử 3 cầu thủ dự lễ bốc thăm chia bảng thi đấu. Hỏi có bao nhiêu cách cử? Lời giải. Mỗi cách cử 3 cầu thủ dự lễ bốc thăm chia bảng thi đấu là một tổ hợp chập 3 của 20 phần tử. Do đó SỐ cách cử là C = 1140 cách.
Ví dụ 2. Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. Chọn 3 học sinh để tham gia vệ sinh công cộng toàn trường, hỏi có bao nhiêu cách chọn? Lời giải. Nhóm học sinh 3 người được chọn (không phân biệt nam, nữ – công việc) là một tổ hợp chập 3 của 40 (học sinh).Vì vậy, số cách chọn nhóm học sinh là C = 3 = 9880.
Ví dụ 3. Có bao nhiêu cách lấy hai lá bài từ bộ bài tú lơ khơ gồm 52 lá? Lời giải. Mỗi cách lấy 2 con bài từ 52 con là một tổ hợp chập 2 của 52 phần tử. Vậy số cách lấy hai con bài từ cỗ bài tú lơ khơ 52 con là C2 = 1326. Ví dụ 4. Một tổ gồm 8 học sinh nam và 6 học sinh nữ. Cần lấy một nhóm 5 người trong đó có 2 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn? Việc lấy một nhóm 5 người trong đó có 2 nữ và 3 nam được thực hiện theo hai công đoạn: Chọn 2 nữ trong 6 nữ có Cề cách. Chọn 3 nữ trong 8 nữ có Cá cách. Theo quy tắc nhân ta có Cả x C = 840 cách chọn.
Ví dụ 5. Một hộp đựng 5 viên bi màu xanh, 7 viên bi màu vàng. Có bao nhiêu cách lấy ra 6 viên bị bất kỳ? Số cách lấy 6 viên bi bất kỳ (không phân biệt màu) trong 12 viên bi là một tổ hợp chập 6 của 12 (viên bi). Vậy ta có Cf, = 924 cách lấy. Ví dụ 6. Có 15 đội bóng đá thi đấu theo thể thức vòng tròn tính điểm. Hỏi cần phải tổ chức bao nhiêu trận đấu? Lấy hai đội bất kỳ trong 15 đội bóng tham gia thi đấu ta được một trận đấu. Vậy số trận đấu chính là một tổ hợp chập 2 của 15 phần tử (đội bóng đá). Như vậy, ta có C = 105 trận đấu.
Ví dụ 7. Có bao nhiêu cách cắm 3 bông hoa giống nhau vào 5 lọ khác nhau (mỗi lọ cắm không quá một bông)? Cắm 3 bông hoa giống nhau, mỗi bông vào 1 lọ nên ta sẽ lấy 3 lọ bất kỳ trong 5 lọ khác nhau để cắm bông. Vậy số cách cắm bông chính là một tổ hợp chập 3 của 5 phần tử (lọ hoa). Như vậy, ta có C = 10 cách. Ví dụ 8. Trong mặt phẳng cho tập hợp P gồm 2018 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu đoạn thẳng mà hai đầu mút thuộc P? Lời giải. Với hai điểm bất kỳ trong n điểm ta luôn được một đoạn thẳng. Vậy số đoạn thẳng cần tìm chính là một tổ hợp chập 2 của 2018 phần tử (điểm). Như vậy, ta có C2013 -2015 Di đoạn thẳng.
Ví dụ 9. Một tổ sinh viên có 20 em, trong đó có 8 em chỉ biết tiếng Anh, 7 em chỉ biết tiếng Pháp & 5 em chỉ biết tiếng Đức. Cần lập một nhóm đi thực tế gồm 3 em biết tiếng Anh, 4 em biết tiếng Pháp, 2 em biết tiếng Đức. Hỏi có bao nhiêu cách lập nhóm đi thực tế từ tổ sinh viên đó? Việc lập nhóm đi thực tế từ tổ sinh viên được thực hiện qua ba công đoạn. Chọn 3 sinh viên biết tiếng Anh từ 8 sinh viên có Cà cách. Chọn 4 sinh viên biết tiếng Anh từ 7 sinh viên có C4 cách. Chọn 2 sinh viên biết tiếng Anh từ 5 sinh viên có C3 cách. Theo quy tắc nhân ta có Cả x C4 x C = 19600 cách chọn.