Biện luận số nghiệm của phương trình bằng phương pháp suy đồ thị

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Biện luận số nghiệm của phương trình bằng phương pháp suy đồ thị, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Biện luận số nghiệm của phương trình bằng phương pháp suy đồ thị:
Dạng 2: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng phương pháp suy đồ thị 1. Các phép tịnh tiến đồ thị hàm số. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đồ thị (C) của hàm số y = f(x), p và q là hai số dương tùy ý. Khi đó: – Tịnh tiến (C) lên trên q đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số y fx q. – Tịnh tiến (C) xuống dưới q đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số y fx q. – Tịnh tiến (C) sang trái p đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số y fx p. – Tịnh tiến (C) sang phải p đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số y fx p.
2. Một số phép suy đồ thị Mẫu 1: Cho đồ thị hàm số y = f(x) (C) thì đồ thị hàm số y = f(x) gồm 2 phần. – Phần 1: Là phần đồ thị hàm số (C) nằm phía trên trục hoành. – Phần 2: Lấy đối xứng phần của (C) nằm dưới Ox qua Ox. Mẫu 2: Cho đồ thị hàm số y = f(x) (C) suy ra đồ thị hàm số y = f(x) gồm hai phần – Phần 1: Là phần của (C) nằm bên phải trục tung. – Phần 2: Lấy đối xứng phần 1 qua trục tung (vì hàm số y = f(x) là hàm chẵn nên nhận trục tung là trục đối xứng). Mẫu 3: Cho đồ thị hàm số y uxvx C thì đồ thị hàm số y ux vx gồm hai phần: – Phần 1: Là phần của (C) ứng với miền u x ≥ 0. – Phần 2: Lấy đối xứng phần của (C) ứng với miền u x 0 qua trục Ox.
Ví dụ 1: Cho hàm số 4 2 yx x 2 có đồ thị như hình vẽ. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 4 2 x xm 2 có 4 nghiệm phân biệt. Lời giải: Gọi 4 2 y x xC 2. Đồ thị hàm số 4 2 yx x 2 gồm 2 phần: Phần 1: Là phần đồ thị hàm số (C) nằm phía bên trục hoành. Phần 2: Lấy đối xứng phần của (C) nằm dưới Ox qua Ox. Dựa vào đồ thị hàm số 4 2 yx x 2 (hình vẽ) và đường thẳng y m. Suy ra phương trình 4 2 x xm 2 có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi hai đồ thị có 4 giao điểm. Khi đó m = 1. Chọn A. Ví dụ 2: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y m cắt đồ thị hàm số 4 2 yx x 2 2 tại 6 điểm phân biệt.
Lời giải: Vẽ đồ thị hàm số 4 2 yx x C 2 2. Khi đó đồ thị hàm số 4 2 yx x 2 2 gồm 2 phần: Phần 1: Là phần đồ thị hàm số (C) nằm phía bên trên trục hoành. Phần 2: Lấy đối xứng phần của (C) nằm dưới Ox qua Ox. Dựa vào đồ thị hàm số (hình vẽ bên) để đường thẳng y m cắt đồ thị (C) tại 6 điểm phân biệt khi và chỉ khi 2 3 m. Chọn A. Ví dụ 3: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 3 3 1 20 xx m có sáu nghiệm phân biệt. Lời giải: Ta có: PT 3 xx m 3 12 * Phương trình (*) là phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hàm số 3 y xx 3 1 và đường thẳng y m −2 vuông góc với trục tung. Phương trình đã cho có sáu nghiệm phân biệt khi và chỉ khi hai đồ thị cắt nhau tại 6 điểm phân biệt.
Ta có đồ thị hai hàm số như hình bên. Để hai đồ thị cắt nhau tại 6 điểm thì 02 1 1 2 m m. Chọn A. Ví dụ 4: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình 2 15 f x là: A. 3 B. 5 C. 2 D. 4 Lời giải Ta có: 2 15 2 2 15 2 15 3 fx fx f x fx fx. Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy, phương trình f x 2 có 2 nghiệm và phương trình f x −3 có một nghiệm nên phương trình đã cho có 3 nghiệm. Chọn A. Ví dụ 5: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình 2 38 f x là: A. 7 B. 5 C. 4 D. 6 Lời giải Ta có: 2 38 2 2 38 2 38 11 2 f x f x f x f x f x. Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy, phương trình 5 2 f x có 4 nghiệm và phương trình 11 2 f x có 2 nghiệm nên phương trình đã cho có 6 nghiệm. Chọn D.
Ví dụ 6: Hình bên là đồ thị hàm số 4 2 yx x 241. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 4 2 1 2 2 2 xx m có 8 nghiệm phân biệt. Lời giải Ta có: PT 4 2 ⇔ 2 4 14 xx m Gọi 4 2 yx x C 241 Đồ thị hàm số 4 2 yx x 241 gồm 2 phần: Phần 1: Là phần đồ thị hàm số (C) nằm phía bên trên trục hoành. Phần 2: Lấy đối xứng phần của (C) nằm dưới Ox qua Ox. Dựa vào đồ thị hàm số 4 2 yx x 241 và đường thẳng y m 4 suy ra phương trình đã cho có 8 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi hai đồ thị có 8 giao điểm. Hai đồ thị có 8 giao điểm 1 04 1 0 4 m m. Chọn C. Ví dụ 7: Biết rằng hàm số 4 2 yx x 4 3 có bảng biến thiên như sau x −∞ − 2 0 2 +∞ f x − 0 + 0 − 0 + f x +∞ 3 +∞ −1 −1. Tìm m để phương trình 4 2 xx m 4 3 có đúng 4 nghiệm phân biệt.
Lời giải: Vẽ đồ thị hàm số 4 2 yx x C. Ký hiệu 4 2 yx x C 4 3 khi đó (C′) gồm 2 phần: Phần 1: Là phần của (C) nằm trên trục Ox. Phần 2: Lấy đối xứng phần của (C) nằm dưới Ox qua trục Ox Để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt thì đường thẳng y m cắt (C) tại 4 điểm phân biệt 0 1 3 m m. Chọn D. Ví dụ 8: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên  và có bảng biến thiên như hình vẽ x −∞ −1 1 +∞ y′ − 0 + 0 − y +∞ 0 −4 −∞. Với m∈(1;3) thì phương trình fx m= có bao nhiêu nghiệm? A. 4 B. 3 C. 2 D. 5 Lời giải Phương trình fx m là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và đường thẳng y m song song trục hoành có đồ thị ở hình bên. Hai đồ thị có bao nhiêu giao điểm thì PT fx m có bấy nhiêu nghiệm m (1;3) thì hai đồ thị có 4 giao điểm, suy ra PT fx m có 4 nghiệm. Chọn A.