Bài toán xác định ảnh trong hệ tọa độ qua phép đối xứng tâm

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Bài toán xác định ảnh trong hệ tọa độ qua phép đối xứng tâm, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.

Nội dung bài viết Bài toán xác định ảnh trong hệ tọa độ qua phép đối xứng tâm:
Bài toán xác định ảnh trong hệ tọa độ qua Phép Đối Xứng Tâm. Phương pháp: Sử dụng biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục. Trong mặt phẳng Oxy, với mỗi điểm M x y; gọi M x y Ð MI Với IO; ta có M x y M x y O thì xy y Với I a b ta có M x y M x y I. Để tìm tâm đối xứng của một hình ta có nhận xét như sau: Nếu hình đã cho là một đa giác thì sử dụng tính chất: Một đa giác có tâm đối xứng I thì qua phép đối xứng tâm I mỗi đỉnh của nó phải biến thành một đỉnh của đa giác, mỗi cạnh của nó phải biến thành một cạnh của đa giác song song và bằng cạnh ấy. Nếu hình đã cho không phải một đa giác thì sử dụng định nghĩa.
Bài 01. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho phép đối xứng tâm O 0 0; biến điểm M 2 3; thành điểm M có tọa độ là. Lời giải. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm O; là x x y y. Bài 02. Phép đối xứng tâm I a b; biến điểm A 1 3; thành điểm A 1 7. Tính tổng T. Lời giải. Từ giả thiết suy ra I là trung điểm của AA. Bài 03. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm I 2 3; và đường thẳng d có phương trình 3 2 1 0 x y. Tìm toạ độ điểm I’ và phương trình đường thẳng d’ lần lượt là ảnh của I và d qua phép đối xứng tâm O. Lời giải. Ta có I’ 2 3. Từ biểu thức toạ độ của phép đối xứng tâm qua gốc toạ độ ta có. Thay biểu thức của x và y vào phương trình của d ta được. Do đó phương trình của d x y: 3 2 1 0.
Bài 04. Trong các mặt phẳng tọa độ 0xy cho đường thẳng d x y: 2 0. Tìm phương trình đường thẳng d là ảnh của d qua phép đối xứng tâm I 1 2; Lời giải. Qua phép đối xứng tâm, đường thẳng biến thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó nên d x y c. Chọn A. Cách 2. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm I a b; là 2 2 2 4 x a x x x y b y y y. Thay vào phương trình đường thẳng d. Bài 05. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm phương trình đường tròn là ảnh của đường tròn y qua phép đối xứng tâm O. Lời giải Cách 1. Đường tròn C có tâm I 3 1; bán kính R = 3. Gọi I là điểm đối xứng của I 3 1; qua phép đối xứng tâm OI. Phép đối xứng tâm bảo toàn khoảng cách nên R = 3. Vậy phương trình đường tròn 2 C x y: 1 9. Cách 2. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm O 0 0; là x x y y.
Bài 06. Chứng minh rằng nếu một tứ giác có tâm đối xứng thì nó phải là hình bình hành. Lời giải. Giả sửtứ giác ABCD có tâm đối xứng là I. Qua phép đối xứng tâm I, tứ giác ABCD biến thành chính nó nên đỉnh A chỉ có thể biến thành A B C, và D. Nếu đỉnh A biến thành chính nó thì theo ví dụ trên A trùng với I. Khi đó tứ giác có hai đỉnh đối xứng qua A điều đó vô lí. Nếu đỉnh A biến thành B hoặc D thì tâm đối xứng thuộc các cạnh AB hoặc AD của tứ giác nên cũng suy ra điều vô lí. Do đó A chỉ có thể biến thành C. Lí luận tương tự B chỉ có thể biến thành D. Khi đó tâm đối xứng I là trung điểm của hai đường chéo AC và BD nên tứ giác ABCD phải là hình bình hành.