Bài toán về thiết diện với hình trụ

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Bài toán về thiết diện với hình trụ, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Bài toán về thiết diện với hình trụ:
Dạng 2. Bài toán về thiết diện với hình trụ Ví dụ 1: Cắt một hình trụ bằng một mặt phẳng qua trục của nó, ta được thiết diện là một hình vuông cạnh 2a. Diện tích xung quanh của hình trụ bằng Lời giải: Thiết diện qua trục hình trụ là hình chữ nhật có hai kích thước h và 2R. Theo bài ra, ta có 22 2a R a hRa h. Vậy 2 2 2 4 xq S Rh a a ππ π. Chọn B.
Ví dụ 2: Cho hình trụ có diện tích toàn phần là 6π và có thiết diện cắt bởi mặt phẳng qua trục là hình vuông. Thể tích khối trụ đã cho bằng A. 2π. B. 4π. C. 8π. D. 12π. Lời giải: Thiết diện qua trục của hình trụ là hình chữ nhật ABCD có hai kích thước AB R AD h 2. Theo bài ra, ta có ABCD là hình vuông ⇒ AB AD h R2. Diện tích toàn phần của hình trụ là 2 2 2 tp S Rh R π π. Vậy thể tích khối trụ là 2 V Rh π π2. Chọn A.
Ví dụ 3: Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng 4π, thiết diện qua trục là hình vuông. Một mặt phẳng (α) song song với trục, cắt hình trụ theo thiết diện là tứ giác ABB’A’, biết một cạnh của thiết diện là một dây cung của đường tròn đáy cùa hình trụ và căng một cung 120°. Tính diện tích thiết diện ABB’A’. Lời giải: Thiết diện qua trục hình trụ là hình chữ nhật có hai kích thước h, 2R. Theo bài ra, ta có 2R 2R 1 xq 4 24 2 h h R S π π π Rh h.
Thiết diện song song với trục OO’ là hình chữ nhật ABB’A’ (hình bên). Dây cung AB căng một cung 120° ⇒ AOB 120. Tam giác OAB có AB OA OB OAOB AOB 2 2 2 cos 3. Vì AA’ là đường sinh → AA h 2. Vậy 2 3 ABB A S AB AA. Chọn C. Ví dụ 4: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R và chiều cao bằng 3R 2. Mặt phẳng (α) song song với trục của hình trụ và cách trục một khoảng bằng R 2. Tính diện tích thiết diện của hình trụ cắt bởi mặt phẳng (α).
Lời giải: Thiết diện song song với trục OO′ là hình chữ nhật ABB A (hình bên). Vì OO ABB A d OO d O d O AB. Gọi H là trung điểm AB mà OA OB OH AB. Tam giác OAH vuông tại H, có 2 2 AH OA OH AH R R R R AB R. Do đó 2 3 ABB A R R AB R AA S. Chọn D. Ví dụ 5: Cho hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông ABCD cạnh bằng 2 3 với AB là đường kính của đường tròn đáy tâm O. Gọi M là điểm thuộc cung AB của đường tròn đáy sao cho ABM 60. Thể tích của khối tứ diện ACDM là? A. 4. B. 3. C. 12. D. 6.
Lời giải: Thiết diện qua trục là hình vuông ABCD (hình vẽ bên). Suy ra 2 3 2 3 3 2 h BC AB BC AB R OA. Tam giác OBM cân tại O, có OBM OBM ⇒ ∆ = 60 đều BM OB AM AB BM 3 23 3 3. Kẻ MH AB H AB mà AD D MH M C H AB. Tam giác ABM vuông tại 3 2 AM BM M MH AB. Diện tích tam giác ACD là 2 D D 6 2 2 AC S AC ∆. Vậy thể tích tứ diện ACDM là D D 1 13 3 32 V MH S AC M ∆AC. Chọn B.
Ví dụ 6: Một hình trụ có bán kính đáy R = 70 cm, chiều cao hình trụ h cm 20. Một hình vuông có các đỉnh nằm trên hai đường tròn đáy sao cho có ít nhất một cạnh không song song và không vuông góc với trục hình trụ. Khi đó, cạnh của hình vuông bằng A. 80 cm. B. 100 cm. C. 100 2 cm. D. 140 cm. Lời giải: Xét hình vuông ABCD có AD không song song và không vuông góc với trục OO’ của hình trụ. Dựng đường sinh AA’, ta có D AA D AA D CD A D. Suy ra A’C là đường kính đáy nên A C cm 2R 140. Xét tam giác vuông AA’C, ta có 2 2 AC AA A C 100 2 cm. Suy ra cạnh hình vuông bằng 100 cm. Chọn B.