Bài toán về thiết diện qua đỉnh hình nón

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Bài toán về thiết diện qua đỉnh hình nón, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Bài toán về thiết diện qua đỉnh hình nón:
Dạng 2. Bài toán về thiết diện qua đỉnh nón Ví dụ 1: Cắt hình nón bởi một mặt phẳng đi qua trục ta được thiết diện là một tam giác có cạnh huyền bằng a 6. Thể tích V của khối nón đã cho bằng? Lời giải: Thiệt diện qua trục hình nón là tam giác cân SAB có cạnh bên SA = l, cạnh đáy AB = 2R. Theo bài ra, ta có 2 4 2 2 2 SA SB AB ⇔ l R l. Mặt khác AB = 2R = a6 ⇒ R a 6 suy ra 2 3 2 6 a a l.
Do đó 4 6 3 1 2 6 3 2 2 2 a V R h a h l R π. Chọn A. Ví dụ 2: Thiết diện qua trục của hình nón (N) là tam giác vuông cân và có diện tích bằng a2. Diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng? Lời giải: Thiết diện qua trục hình nón là tam giác cân SAB có cạnh bên SA = l, cạnh đáy AB = 2R. Theo bài ra, tam giác SAB vuông 2 a l a SA l ⇒ SA ⊥ SB ⇒ S∆SAB. Do đó a l l R ⇒ R = 22. Vậy diện tích cần tìm là 2 S Rl 2 a xq π π. Chọn B.
Ví dụ 3: Cho hình nón đỉnh S, đáy là hình tròn tâm O, thiết diện qua trục là tam giác đều cạnh a. Thể tích của khối nón đã cho là: Lời giải: Theo bài ra, tam giác SAB đều cạnh a ⇒ SA = SB = AB = a. Do đó, chiều cao 2 a 3 SO bán kính đáy 2 2 AB a R. Vậy thể tích cần tính là? Chọn C. Ví dụ 4: Cho hình nón (N) có bán kính đáy bằng 9 cm, góc giữa đường sinh và mặt đáy là 30o. Diện tích thiết diện qua trục của hình nón (N) bằng?
Lời giải: Theo bài ra, ta có AB = 2R = 18 và SAO 30. Tam giác SAO vuông tại O, có SO OA tan SAO 9 tan 30 3 3. Thiết diện qua trục hình nón là tam giác cân SAB. Suy ra diện tích cần tính là 2 3 3 18 27 3 1 S∆SAB SO AB. Chọn D. Ví dụ 5: Thiết diện qua trục của hình nón (N) là tam giác có chu vi bằng 10 cm, diện tích bằng 2 2 5cm. Tính thể tích khối nón (N), biết rằng bán kính là số nguyên dương.
Lời giải: Theo bài ra, ta có h R l R. Do đó R − R ⇒ R. Suy ra h = 5 Vậy thể tích cần tính là 2 2 3 3 1 V R h cm π. Chọn B. Ví dụ 6: Hình nón (N) có đỉnh S, tâm đường tròn đáy là O, góc ở đỉnh bằng 120o. Một mặt phẳng qua S cắt hình nón (N) theo thiết diện là tam giác vuông SAB. Biết rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SO bằng 3. Tính diện tích xung quanh Sxq của hình nón (N).
Lời giải
Vì góc ở đỉnh bằng R l SA OA R o 3 2 3 3. Gọi H là trung điểm của AB ⇒ OH ⊥ AB mà SO ⊥ OH. Suy ra OH là đoạn vuông góc chung của AB và SO OH 3. Tam giác OAH vuông tại H có 9 2 2 2 AH. Tam giác SAB vuông tại S có 2 2 2 SA SB AB R l. Vậy diện tích xung quanh cần tính là Sxq = πRl = 183π. Chọn A. Ví dụ 7: Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O, bán kính R. Dựng hai đường sinh SA và SB, biết AB chắn trên đường tròn đáy một cung có số đo bằng 60°, khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng (SAB) bằng 2 R. Đường cao h của hình nón bằng?
Lời giải: Theo giả thiết, ta có tam giác OAB đều cạnh R. Gọi E là trung điểm AB, suy ra OE ⊥ AB và 2 R 3 OE. Gọi h là hình chiếu của O trên SE ⇒ OH ⊥ SE. Ta có AB (SEO) AB OH AB SO AB OE. Từ đó suy ra OH ⊥ (SAB) nên R d O SAB OH. Tam giác SEO vuông tại O có 4 2 R SO SO OH OE R. Chọn B.
Ví dụ 8: Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O. Dựng hai đường sinh SA và SB, biết tam giác SAB vuông và có diện tích bằng 2 4a. Góc tạo bởi giữa trục SO và mặt phẳng (SAB) bằng 30o. Đường cao h của hình nón bằng? Lời giải: Theo giả thiết, ta có tam giác SAB vuông cân tại S. Gọi E là trung điểm AB, suy ra OE AB SE AB và SE AB 2 1. Ta có S SAB AB SE a AB AB 4a AB 4a.
Gọi H là hình chiếu của O trên SE OH SE. Lại có AB (SEO) AB OH AB SO AB OE. Từ đó suy ra OH SAB SO SAB OSH 30. Tam giác SEO vuông tại O, có SO SE cos OSE a 3. Chọn D.