Bài toán tính đơn điệu của hàm số hợp dạng đổi biến số

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Bài toán tính đơn điệu của hàm số hợp dạng đổi biến số, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Bài toán tính đơn điệu của hàm số hợp dạng đổi biến số:
Xét bài toán: Tìm m để hàm số y f ux đồng biến hoặc nghịch biến trên D ab. Phương pháp giải: Cách 1: Đặt ẩn phụ: Đặt x a t ua t ux t u x x b t ub. Nếu t ux x D 0 thì bài toán đồng (nghịch) biến trở thành bài toán tìm m để hàm số y ft đồng (nghịch) biến trên D ua ub t. Nếu t ux x D 0 thì bài toán đồng (nghịch) biến trở thành bài toán tìm m để hàm số y ft nghịch (đồng) biến trên D ua ub t. Cách 2: Tính trực tiếp đạo hàm. Chú ý công thức đạo hàm của hàm hợp: y f uu x. Ví dụ 1: [Đề minh họa Bộ GD&ĐT năm 2017] Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số tan 1 tan x y x m đồng biến trên khoảng 0 4.
Lời giải Cách 1: ĐK: tan x m. Khi đó 2 2 2 1 tan cos m y x m x. Hàm số đồng biến trên khoảng 2 2 tan 0 tan cos x m m x x m x π π. Chọn A. Cách 2: [Đặt ẩn phụ] Đặt 2 1 tan 0 0 cos 4 t xt x x. Khi đó bài toán trở thành tìm m để hàm số t 2 f t t m đồng biến trên khoảng (0;1). Chọn A. Ví dụ 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số cos 2 2cos m x y x m nghịch biến trên khoảng 3 2 π π. Lời giải Ta có: 2 2 2 2 4 4 sin sin 2cos 2cos m m x y x x m x m.
Hàm số đã cho nghịch biến trên 2 4 0 0 3 2 3 2 2cos 3 2 m y x xm x m m. Chọn A. Ví dụ 3: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số cos 2 cos x y x m nghịch biến trên khoảng 0 2. Lời giải Ta có: 2 sin cos 1 m y x m x. Do đó sin 0 0 2 x x. Hàm số nghịch biến trên 2 m m. Chọn A. Ví dụ 4: Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho hàm số 2cos 3 2cos x y x m nghịch biến trên khoảng 0 3. Lời giải Ta có: 2 2cos 3 2 6 sin 2cos 2cos x m x.
Hàm số nghịch biến trên khoảng 0 2 6 sin 0 y m x x 60 3 m m. Mặt khác 2cos 0 2cos 1 1 2 3 0 cos 1 3 2 xm m x. Chọn C. Ví dụ 5: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số cot 1 cot 1 x y m x đồng biến trên khoảng 4 2 π π. Lời giải Ta có: 2 2 1 1 cot 1 sin m y m x x. Với 2 1 0 1 cot 0 sin m y xy x. Hàm số đồng biến trên khoảng 4 2 π π. Với m ≠ 0 hàm số đồng biến trên khoảng 0 1 4 2 cot 4 2 y x x m π π. Kết hợp 2 trường hợp suy ra m 1 là giá trị cần tìm. Chọn D.
Ví dụ 6: Có bao nhiêu giá trị nguyên m để hàm số 2 2 sin 16 cos 1 m x y x m nghịch biến trên khoảng 0 2 A. 5. B. 8. C. 7. D. 6. Lời giải Ta có: 2 2 2 sin 16 sin 16 Do cos 1 sin cos 1 sin mx mx y x x xm xm. Khi đó 2 2 16 16 sin 2sin cos sin sin m m y x x. Do 2sin cos 0 0 2 x do đó hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 2 2 16 0 4 4 xm x m. Kết hợp m có 7 giá trị của m. Chọn C. Ví dụ 7: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số 1 4 1 m x y x m đồng biến trên khoảng (0;1).
Lời giải: Đặt 1 1 0 0 1 2 1 t xt x x với x t 0 1 0 1. Khi đó bài toán trở thành tìm m để hàm số mt 4 f t t m nghịch biến trên khoảng (0;1). Chọn A. Ví dụ 8: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số 15 2 1 5 x y x m nghịch biến trên khoảng 1 0. Lời giải Đặt 5 1 1 5 0 0 21 5 5 t xt x. Khi đó bài toán trở thành tìm m để hàm số t 2 f t t m đồng biến trên khoảng (0;1). Chọn A. Ví dụ 9: Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho hàm số 2 4 2 33 3 y mx x x luôn đồng biến trên tập xác định. Lời giải Ta có: Đặt 1 2 3 0 0 3 3 khi đó 2 y f t mt t. Để hàm số đồng biến trên tập xác định 2 f t t mt t t.