Bài toán tìm điểm trên đồ thị kết hợp bài toán tương giao và tiếp tuyến

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Bài toán tìm điểm trên đồ thị kết hợp bài toán tương giao và tiếp tuyến, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Bài toán tìm điểm trên đồ thị kết hợp bài toán tương giao và tiếp tuyến:
Dạng 3: Bài toán tìm điểm kết hợp bài toán tương giao và tiếp tuyến Bài toán 1: Tìm hai điểm Aaf a và Bbf b thuộc đồ thị hàm số y fx C sao cho tiếp tuyến tại A và B của (C) song song với nhau và A B thỏa mãn điều kiện K. Cách giải: Giải hệ phương trình fa fb và điều kiện K. Bài toán 2: Tìm hai điểm A B thuộc đồ thị hàm số y fx C sao cho AB ⊥ ∆ (hoặc AB // ∆) và A B thỏa mãn điều kiện K.
Cách giải: Dựa vào giả thiết AB ⊥ ∆ hoặc AB // ∆ ta viết phương trình đường thẳng AB theo một tham số m nào đó. Viết phương trình hoành độ giao điểm của AB và đồ thị (C). Dựa vào điều kiện K để tìm giá trị của tham số m. Ví dụ 1: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 2 yx x x 4 41 tại điểm A(3;2) cắt đồ thị tại điểm thứ hai là B. Điểm B có tọa độ?
Lời giải: Ta có: 2 yxx y 3 84 373. PTTT tại điểm A(3;-2) là: yx x 7 3 2 7 19 (d). Phương trình hoành độ tiếp điểm của đồ thị và tiếp tuyến d là: 3 2 xx 4 1 7 19. Vậy B(2;33). Chọn C. Ví dụ 2: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 2 yx x 1 tại điểm A cắt đồ thị tại điểm thứ hai là B(-1;-2). Điểm A có tọa độ. Lời giải: Ta có: 2 yx x 3 21 gọi 3 2 Aaa a a. Phương trình tiếp tuyến tại A là: 2 3 2 y a a xa a a 3 21 1.
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và tiếp tuyến là: x a x xa a x a 2 0. Do x a aA B 2 1 1 1 1 2. Chọn D. Ví dụ 3: Điểm M thuộc đồ thị hàm số 3 2 Cy x x 32 mà tiếp tuyến của (C) tại đó có hệ số góc lớn nhất, có tọa độ là? Lời giải: Ta có: 2 2 ky x x. Tiếp tuyến của (C) có hệ số góc lớn nhất là 3 khi hoành độ tiếp điểm là x = 1. Khi đó M (1;4). Chọn C. Ví dụ 4: Cho hàm số 2 2 1 x y C. Gọi A B là 2 điểm phân biệt trên (C) sao cho tiếp tuyến tại A và B song song với nhau và AB 4 2.
Tính T OA OB. A. T = 5. B. T = 6. C. T = 7. D. T = 8. Lời giải: Gọi 4 4 A a B b ab a b a b. Do tiếp tuyến tại A B song song với nhau nên ta có: a bl ya yb a b a b a b. Ta có: a b AB a b a b a b. Đặt t ab 1 ta có: 2 16 16 2 a b. Vậy A B 1 0 3 4 hoặc ngược lại suy ra T OA OB 6. Chọn B. Ví dụ 6: Cho hàm số 2 1 x y C x. Gọi A B là 2 điểm phân biệt trên (C) sao cho tiếp tuyến tại A và B song song với nhau và tam giác OAB vuông tại O. Tính độ dài AB.
A. AB = 4. B. AB = 2. C. AB = 22. D. AB = 2. Lời giải: Gọi 2 2. Do tiếp tuyến tại A B song song với nhau nên ta có: 2 2 a b ya yb a b a b a b. Mặt khác ∆OAB vuông tại O nên: a b OA OB ab 4 2 0 ab ab ab. Vậy 2 điểm cần tìm là A B AB. Chọn C. Ví dụ 7: Cho hàm số 3 yx x C 4 3. Gọi A B là 2 điểm phân biệt trên (C) sao cho tiếp tuyến tại A và B có cùng hệ số góc và đường thẳng đi qua A B vuông góc với đường thẳng dx y 5 70. Tính độ dài AB. A. AB = 8. B. AB = 12. C. AB = 62. D. AB = 626.
Lời giải Gọi 3 3 A aa a B bb b. +) Ta có: 3 2 2 AB b a b a b a b a b a b ba a. Do đó chọn 2 1 4 0 5 4 0 9 AB AB d u b ab. Vậy A B 3 18 3 12 hoặc ngược lại suy ra AB = 626. Chọn D. Ví dụ 8: Cho hàm số 3 yx x 3 có đồ thị (C). Xét điểm M thuộc (C). Tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại điểm thứ hai NM N thỏa mãn 3 M N x x. Hoành độ điểm M là A. 3. B. −1. C. 1. D. −3. Lời giải: Vì 3 M C M mm m 3. Ta có 2 2 y x ym m.
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là y ym y m x m. Hoành độ giao điểm của (d) và (C) là nghiệm phương trình 32 3 x x m xm m m. Suy ra 2 3 3 M M N N x m. Vậy 3 Mx. Chọn A. Ví dụ 9: Cho hàm số 2 3 1 x y C x. Gọi A B là 2 điểm phân biệt trên (C) sao cho A B đối xứng nhau qua đường thẳng dx y 5 11 0. Tính tổng tung độ y y A B. Lời giải: Viết lại phương trình đường thẳng 1 11 5 5 dy x. Vì AB d nên phương trình đường thẳng AB có dạng: y xm 5. Phương trình hoành độ giao điểm của AB và (C) là?
Để AB cắt (C) tại 2 điểm phân biệt ⇔ g x 0 có 2 nghiệm phân biệt khác g I m m (*). Khi đó gọi Ax x m Bx x m. Theo định lý Viet ta có: 1 2 m x x m x x. Trung điểm I của AB I m hay 7 7 7 5 35 11 3. Ví dụ 10: Cho hàm số 1 2 x y C x và 2 điểm C D thuộc đường thẳng dy x 4. Gọi 2 điểm A B là hai điểm phân biệt nằm trên (C) sao cho tứ giác ABCD là hình chữ nhật có đường chéo bằng 5 2. Độ dài AB khi đó thỏa mãn?