Bài toán tích phân từng phần với hàm ẩn

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Bài toán tích phân từng phần với hàm ẩn, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Bài toán tích phân từng phần với hàm ẩn:
Dạng 2: Tích phân từng phần với hàm ẩn Ví dụ 1: Cho hàm số f(x) thỏa mãn điều kiện 1 0 x f x dx 1 10 và 21 0 2 f. Tính tích phân 1 0 f x dx A. I = −12. B. I = 8. C. I = 12. D. I = −8. Lời giải Đặt u x 1 du dx dv f x dx v f x khi đó 1 1 1 0 0 0 x f x dx x f x f x dx 10 2 1 0 2 1 0 10 2 10 8 f f II f f. Chọn D. Ví dụ 2: Cho 2 0 1 2 x f x dx f f 3 2 0 2016. Tích phân 1 0 f x dx 2 bằng: A. 4032. B. 1008. C. 0. D. 2016.
Lời giải Xét tích phân 2 0 1 2 x f x dx. Đặt 2 2 0 0 1 2 2 12 2 u x du dx I x f x f x dx dv f x dx v f x 3 2 0 2 f f f x dx 2016 2016 2 f x dx f x dx 2016. Xét 1 0 J f x dx 2 đặt t x dt dx 2 2 đổi cận suy ra 2 2 0 0 1 1008 2 2 dt J f t f x dx. Chọn B. Ví dụ 3: Cho hàm số y = f(x) thỏa mãn điều kiện 1 0 1 1 f x dx x và f f (120 2). Tính tích phân 1 2 0 1 f x dx x.
Lời giải: Đặt 2 1 1 1 u dx x du x dv f x dx v fx khi đó 1 1 1 2 0 0 0 1 1 1 f x fx fx dx dx x x x. Suy ra 1 0 1 1 2 f x f II f f f. Chọn A. Ví dụ 4: Cho 2 3 Fx x x ln là một nguyên hàm của hàm số f(x) x. Tính tích phân 1 ln e f x xdx. Lời giải Đặt 1 1 1 ln ln e u x du dx e f x x I x f x dx dv f x dx x v fx 2 3 2 2 1 ln ln 2 2 e I xf x x x f e e f e e.
Mặt khác 2 3ln 2 2 2 3 x f x xF x x x f e e x. Do đó 2 I e 3. Chọn B. Ví dụ 5: Cho 3 2 x F x xe là một nguyên hàm của hàm số 3 x f xe. Tính tích phân 1 3 0 x I f x e dx. Lời giải Đặt 3 3 3 x x u e du e dx dv f x dx v f x 1 3 3 3 3 23 3 3 xx I e f x e f x dx e f x x x e. Trong đó 3 2 1 3 2 3 2 0 4 2 2 2 x x x F x xxx f x I e x x x e. Chọn A.
Ví dụ 6: Cho hàm số f(x) liên tục và luôn dương trên R. Biết rằng 1 0 1 2 ln 2 xdx f f x. Tính tích phân 1 2 2 0 xf x I dx f x. Lời giải Đặt 2 2 2 1 u x du xdx f x dv dx v f x f x 1 2 1 0 0 1 1 2 2ln 2 ln 2 1 2 x x I fx fx f. Chọn B.