Bài toán tỉ số thể tích của khối chóp

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Bài toán tỉ số thể tích của khối chóp, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Bài toán tỉ số thể tích của khối chóp:
Dạng 1. Tỉ số thể tích của khối chóp Ví dụ 1: Cho hình chóp S ABC có thể tích V = 18. Gọi M là trung điểm của SA, E là điểm đối xứng với B qua C. Gọi N là giao điểm của hai đường thẳng SB và ME. a) Tính thể tích khối chóp MABE b) Tính thể tích khối chóp AMNBC c) Tính thể tích khối chóp SANE. Lời giải Vì E đối xứng với B qua C ⇒ C là trung điểm của BE. Mà M là trung điểm của SB. SC ME N. Suy ra N là trọng tâm 2 3 SN SBE SC.
a) Ta có: 1 2 2 SBE A BC A BC ABC S d BE d BC S d S ABC SB d M ABC d S ABC d M ABC BM. Khi đó 1 3 V d M ABC S M ABE ∆SBE 2 3 ABC S ABC b) Ta có S AMN S AMN S ABC S ABC. Lại có 2 2 18 12 AMNBC S ABC S AMN S ABC c) Ta có 1 S ANE S AME S AMN S AME S ABC. Lại có S AME S AME S ABE S ABC S ABC. Do đó V S ANE S ABC S ABC S ABC.
Ví dụ 2: Cho hình chóp đều S ABC có đáy cạnh bằng a, cạnh bên bằng 2a. a) Gọi M, N lần lượt thuộc AB, AC sao cho 2 2 AM AB AN NC. Tính VS MBCN. b) Mặt phẳng (P) đi qua trọng tâm của tam giác ABC, song song với SA và BC, biết (P) cắt SB, SC lần lượt tại P, Q. Tính thể tích khối chóp MPQCB. Lời giải Gọi G là trọng tâm tam giác ABC SG ABC.
Tam giác SAG vuông tại G, có a SG SA AG a ⇒ Thể tích khối chóp S ABC là 3 12 S ABC ABC a V SG S ∆. a) Ta có AMN S AMN ABC S ABC S V AM AN S AB AC V. Mà 3 2 11 3 18 S ABC S AMN S MBCN S MBCN S ABC b) Qua G kẻ đường thẳng song song với BC, cắt AB, AC lần lượt tại E, N. Tương tự từ E, N kẻ các đường thẳng song song với BC cắt SB, SC lần lượt tại P, Q.
Dễ dàng chứng minh được 2 3 SP SQ AN SB SC AC. Ta có: 18 MPQCB A PQCB S ABC S APQ S ABC S ABC S ABC. Vậy thể tích cần tìm là 18 12 216 MPQCB a V a. Ví dụ 3: Cho hình chóp S ABC có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 2 cạnh bên SA vuông góc với đáy. Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) bằng 45°. a) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SB, AB. Tính VMNPD.
b) Gọi H là hình chiếu của A trên SD; E là trung điểm của BC. Nối AC cắt DE tại F. Tính thể tích các khối đa diện MHCD, HFCD. Lời giải Gọi O là tâm hình vuông ABCD ⇒ SBD ABCD SOA 45°. Suy ra 3 2 2 333 S ABCD ABCD AC a a SA OA a V SA S a. a) Ta có MNP SAB SMN S ABD S ABCD S ABCD b) Xét ∆SAD vuông tại A, đường cao AH 2 1 3 SH SA SD SD.
Tính thể tích khối chóp MHCD. Ta có 1 1 HCD HCD SCD. Tính thể tích khối chóp HFCD. Vì 1 2 2 3 EC CF EF DF EC AD. Cách 1. Ta có 3 V d H ABCD S H FCD ∆FCD mà d H ABCD HD d S ABCD SD. Cách 2. Ta có V V d F SCD S d A SCD S H FCD F HCD. Ví dụ 4: Cho tứ diện ABCD có thể tích V. Gọi V là thể tích của khối tứ diện có các đỉnh là trọng tâm của các mặt của khối tứ diện ABCD. Tính tỉ số V V.
Lời giải Gọi M là trung điểm AC; E, F lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC, ACD. Trong tam giác MBD có 1 3 EF BD. Tương tự ta có các cạnh còn lại của tứ diện mới sinh ra bằng 1 3 cạnh của tứ diện ban đầu. Do đó 3 1 V. Chọn C. Ví dụ 5: Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc và AB a AC a AD a 6, 9, 3. Gọi M, N, P lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ACD, ADB. Tính thể tích V của khối tứ diện AMNP.
Lời giải Ta có: 1 6 V AB AC AD a ABCD. Gọi E, F, G lần lượt là trung điểm của BC, CD, DB. Suy ra 1 27 3 VV a AEFG ABCD. Do M, N, P là trọng tâm của các tam giác ABC, ACD, ADB. Nên ta có: 2 AE AF AG. Lại có: A MNP A EFG V AM AN AP V Va A MNP A EFG. Chọn D. Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có chiều cao bằng 9, diện tích đáy bằng 5. Gọi M là trung điểm của cạnh SB và N thuộc cạnh SC sao cho NS NC 2. Tính thể tích V của khối chóp A.BMNC.
Từ giả thiết, ta có 2 3 SN SC và 1 2 SM SB. Thể tích khối chóp 1 3 VS ABC. Ta có 3 3 S AMN ABMNC S ABC S ABC V SM SN V. Chọn C. Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC 3 4 5 và ASB BSC CSA 60. Tính thể tích V của khối chóp đã cho. Lời giải Trên SB, SC lần lượt lấy các điểm E, F sao cho SE SF 3. Khi đó S.AEF là khối tứ diện đều có cạnh a = 3. Suy ra thể tích khối chóp S.AEF là?
Ví dụ 8: Cho tứ diện đều cạnh ABCD có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC và E là điểm đối xứng với B qua D. Mặt phẳng (MNE) chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh A có thể tích V. Tính V A. Lời giải Thể tích khối tứ diện đều ABCD cạnh a là 3 2 12 ABCD a V.
Gọi P EN CD và Q EM AD. P Q lần lượt là trọng tâm của ∆BCE và ∆ABE. Gọi S là diện tích tam giác BCD CDE BNE. Gọi h là chiều cao của tứ diện ABCD, suy ra h h d M BCD d Q BCD. Khi đó 3 6 M BNE BNE S h V S d M BCD. Và 3 27 Q PDE PDE S h V S d Q BCD. Suy ra 6 27 54 18 3 18 PQD NMB M BNE Q PDE ABCD Sh Sh Sh Sh V V. Vậy thể tích khối đa diện chứa đỉnh A là 3 3 11 2 11 2 18 12 216 ABCD PQD NMB. Chọn B.