VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Bài toán thực tế về hình trụ, khối trụ, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.
Nội dung bài viết Bài toán thực tế về hình trụ, khối trụ:
Bài toán thực tế về khối trụ. Ví dụ: Một cơ sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao bằng nhau, bán kính đáy lần lượt bằng 1m và 1,5m. Chủ cơ sở dự định làm một bể nước mới, hình trụ, có cùng chiều cao và có thể tích bằng tổng thể tích của hai bể trên. Bán kính đáy của bể nước dự định làm gần nhất với kết quả nào dưới đây? Gọi r là bán kính bể dự định làm, h là chiều cao các bể. Bài tập 1. Cho một tấm bìa hình chữ nhật có kích thước 3a, 6a. Người ta muốn tạo tấm bìa đó thành 4 hình không đáy như hình vẽ dưới đây, trong đó có hai hình trụ lần lượt có chiều cao 3a, 6a và hai hình lăng trụ tam giác đều có chiều cao lần lượt 3a, 6a. Trong bốn hình H1, H2, H3, H4 lần lượt theo thứ tự có thể tích lớn nhất và nhỏ nhất là. Gọi R1, R2 lần lượt là bán kính của hai hình trụ ở hình H1, H2. Gọi V1, V2 lần lượt là thể tích của hai hình trụ ở hình H1, H2. C1, C2 lần lượt là chu vi đáy của hai hình trụ ở hình H1, H2. Do hai hình H3, H4 là hai hình lăng trụ tam giác đều nên ta có độ dài các cạnh đáy của hai hình H3, H4 lần lượt là. Từ đó ta có hai hình có thể tích lớn nhất và nhỏ nhất lần lượt theo thứ tự là H1, H4. Lưu ý: Không phải cắt nhỏ tấm bìa để tạo ra 4 hình bên vì nếu vậy không thỏa đề bài mà lấy tấm bìa lần lượt tạo thành 4 hình trong đề bài.
Bài tập 2. Một người thợ có một khối đá hình trụ. Kẻ hai đường kính MN, PQ của hai đáy sao cho MN = PQ. Người thợ đó cắt khối đá theo các mặt cắt đi qua 3 trong 4 điểm M, N, P, Q để khối đá có hình tứ diện MNPQ. Biết MN = 60 cm và thể tích khối tứ diện MNPQ bằng 30 dm3. Thể tích lượng đá cắt bỏ là bao nhiêu? (Làm tròn đến một chữ số thập phân sau dấu phẩy). Gọi O, O’ lần lượt là tâm đáy trên và đáy dưới của hình trụ. Ta có thể tích khối trụ là. Bài tập 3. Một khối đồ chơi gồm hai khối trụ H1, H2 xếp chồng lên nhau, lần lượt có bán kính đáy và chiều cao tương ứng là (tham khảo hình vẽ bên). Biết rằng thể tích của toàn bộ khối đồ chơi bằng 30cm3, thể tích khối trụ H1 bằng. Gọi thể tích của toàn bộ khối đồ chơi là V, thể tích của khối dưới và khối trên lần lượt là V1 và V2.
Bài tập 4. Cho một dụng cụ đựng chất lỏng được tạo bởi một hình trụ và hình nón được lắp đặt như hình sau. Bán kính đáy hình nón bằng bán kính đáy hình trụ. Chiều cao hình trụ bằng chiều cao hình nón và bằng h. Trong bình, lượng chất lỏng có chiều cao bằng chiều cao hình trụ. Lật ngược dụng cụ theo phương vuông góc với mặt đất. Độ cao phần chất lỏng trong hình nón theo h là. Khi lật ngược bình, thể tích phần hình nón chứa chất lỏng là. Bài tập 5. Công ty của ông Bình dự định đóng một thùng phi hình trụ (có đáy dưới và nắp đậy phía trên) bằng thép không gỉ để đựng nước. Chi phí trung bình cho 1 m2 thép không gỉ là 350000 đồng. Với chi phí bỏ ra để làm cái thùng phi không quá 6594000 đồng, hỏi công ty ông Bình có thể có được một thùng phi đựng được tối đa bao nhiêu mét khối nước? (Lấy 3,14) Gọi R, h lần lượt là số đo bán kính và chiều cao của thùng phi hình trụ. Với giả thiết như trên thì diện tích thép không gỉ được dùng tối đa là. Dựa vào bảng biến thiên ta có, giá trị !ớn nhất của thể tích là.
Bài tập 6. Người ta thiết kế một thùng chứa hình trụ (như hình vẽ) có thể tích V nhất định. Biết rằng giá của vật liệu làm mặt đáy và nắp của thùng bằng nhau và đắt gấp 3 lần so với giá vật liệu để làm mặt xung quanh của thùng (chi phí cho mỗi đơn vị diện tích). Gọi chiều cao của thùng là h và bán kính đáy là r. Tỉ số h sao cho chi phí vật liệu Sản xuất thùng là nhỏ nhất là bao nhiêu? Giá thành vật liệu để làm chiếc thùng là. Trong đó A là giá của một đơn vị diện tích vật liệu làm mặt xung quanh của thùng. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho các số dương. Vậy chi phí vật liệu sản xuất thùng là nhỏ nhất.