Bài toán tăng trưởng của bèo, của vi khuẩn

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Bài toán tăng trưởng của bèo, của vi khuẩn, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Bài toán tăng trưởng của bèo, của vi khuẩn:
BÀI TOÁN 4. TĂNG TRƯỞNG CỦA BÈO, CỦA VI KHUẨN ̶ Tăng trưởng của bèo: Giả sử lượng bèo ban đầu là T0 và mỗi giờ lượng bèo tăng gấp 2 lần thì sau n giờ lượng bèo sẽ là 0 2n T T (nếu mỗi giờ tăng k lần thì công thức là 0 n T Tk) ̶ Tăng trưởng của vi khuẩn: Công thức: rt s t Ae trong đó A là số lượng vi khuẩn ban đầu, s t là số lượng vi khuẩn sau thời gian t, r là tỷ lệ tăng trưởng (r 0), t là thời gian tăng trưởng. Ví dụ 1: Một người thả 1 lá bèo vào một cái ao, sau 12 giờ thì bào sinh sôi phủ kín mặt ao. Hỏi sau mấy giờ thì bèo phủ kín 1 5 mặt ao, biết rằng sau mỗi giờ thì lượng bèo tăng gấp 10 lần lượng bèo trước đó và tốc độ tăng không đổi. A. 12 log 5 − giờ B. 12 5 giờ C. 12 log 2 − giờ D. 12 ln 5 + giờ.
Lời giải: Ta có: 0.10t T T khi đó 12 0 T T 12 10. Gọi 0t là thời gian bèo phủ 1 5 mặt hồ thì 0 12 0 0 t TT. 1 1 10 10 log10 log 10 12 log 5 5. Chọn A. Ví dụ 2: Người ta thả một lá bèo vào một hồ nước. Sau thời gian t giờ, bèo sẽ sinh sôi kín cả mặt hồ. Biết rằng sau mỗi giờ, lượng lá bèo tăng gấp 10 lần lượng lá bèo trước đó và tốc độ tăng không đổi. Hỏi sau mấy giờ thì số lá bèo phủ kín 1 3 mặt hồ? A. 3 t B. 10 3 t C. t − log 3 D. log3 t. Lời giải: Ta có: 0.10t T T. Gọi 0t giờ là khoảng thời gian cần để bèo phủ kín 1 3 mặt hồ, suy ra 0 3 3 t t T. Suy ra 0 0 10 10 log 3 3 t t t. Chọn C.
Ví dụ 3: Trong nông nghiệp bèo hoa dâu được dùng làm phân bón, nó rất tốt cho cây trồng. Mới đây một nhóm các nhà khoa học Việt Nam đã phát hiện ra bèo hoa dâu có thể được dùng để chiết xuất ra chất có tác dụng kích thích hệ miễn dịch và hỗ trợ điều trị bệnh ung thư. Bèo hoa dâu được thả nuôi trên mặt nước. Một người đã thả một lượng bèo hoa dâu chiếm 4% diện tích mặt hồ. Biết rằng cứ sau đúng một tuần bèo phát triển thành 3 lần lượng đã có và tốc độ phát triển của bèo ở mọi thời điểm như nhau. Sau bao nhiêu ngày bèo sẽ vừa phủ kín mặt hồ?
Lời giải: Gọi A là lượng bèo ban đầu, để phủ kín mặt hồ thì lượng bèo là 100 4 A Sau 1 tuần số lượng bèo là 3A suy ra sau n tuần lượng bèo là: 3 n A Để lượng bèo phủ kín mặt hồ thì 3 3 100 100 3 log log 25 4 4 n A An thời gian để bèo phủ kín mặt hồ là: 3 t 7 log 25. Chọn A. Ví dụ 4: Số lượng của một loài vi khuẩn trong phòng thí nghiệm được tính theo công thức rt s t Ae trong đó A là số lượng vi khuẩn ban đầu, s t là số lượng vi khuẩn có sau t (phút), r là tỷ lệ tăng trưởng (r 0), t (tính theo phút) là thờ gian tăng trưởng. Biết rằng số lượng vi khuẩn ban đầu có 500 con và sau 5 giờ có 1500 con. Hỏi sau bao lâu, kể từ lúc bắt đầu, số lượng vi khuẩn đạt 121500 con? A. 35 giờ B. 45 giờ C. 25 giờ D. 15 giờ.
Lời giải: Theo bài ra ta có: 5 5 1500 500 3 r r ⇒ e e Khi đó số lượng vi khuẩn đạt 121500 con thì: 5 5 5 3 121500 500. 243 234 3 243 5log 243 25 t t rt rt r e e t giờ. Chọn C. Ví dụ 5: Số lượng của một loài vi khuẩn trong phòng thí nghiệm được tính theo công thức rt s t Ae trong đó A là số lượng vi khuẩn ban đầu, s t là số lượng vi khuẩn có sau t (phút), r là tỷ lệ tăng trưởng (r 0), t (tính theo phút) là thời gian tăng trưởng. Biết rằng số lượng vi khuẩn ban đầu có 100 con và sau 5 giờ có 300 con. Hỏi sau bao lâu, kể từ lúc bắt đầu, số lượng vi khuẩn tăng gấp 10 lần so với số lượng ban đầu? A. 3 log 5 t = giờ B. 3ln 5 log10 t = giờ C. 5 log 3 t = giờ D. 5ln 3 ln10 t = giờ.
Lời giải Theo bài ra ta có: 5 5 300 100 3 r r. Khi đó số lượng vi khuẩn tăng gấp 10 lần khi: 3 5 10 10 10 3 10 5log 10 log3 t t rt rt r ee e t giờ. Chọn C. Ví dụ 6: Sự tăng trưởng của một loài vi khuẩn được tính theo công thức rx f x Ae trong đó A là số lượng vi khuẩn ban đầu, r là tỷ lệ tăng trưởng (r 0), x (tính theo giờ) là thời gian tăng trưởng. Biết số vi khuẩn ban đầu có 1000 con và sau 10 giờ là 5000 con. Hỏi sau bao lâu thì số lượng vi khuẩn tăng gấp 10 lần A. 5.ln 20 (giờ) B. 5.ln10 (giờ) C. 5 10.log 10 (giờ) D. 5 10.log 20 (giờ) Lời giải: Theo đề bài ta có 10 ln 5 5000 1000 10 r e r.
Gọi 0 x giờ là thời gian để số vi khuẩn tăng gấp 10, suy ra 0 ln5 10 0 5 10 10 log 10 x A Ae x (giờ). Chọn C. Ví dụ 7: [Đề thử nghiệm Bộ GD&ĐT 2017] Số lượng của loại vi khuẩn A trong một phòng thí nghiệm được tính theo công thức (0.2 ) t st s = , trong đó s(0) là số lượng vi khuẩn A lúc ban đầu, s t là số lượng vi khuẩn A có sau t phút. Biết sau 3 phút thì số lượng vi khuẩn A là 625 con. Hỏi sau bao lâu, kể từ lúc ban đầu, số lượng vi khuẩn A là 10 triệu con? A. 48 phút B. 19 phút C. 7 phút D. 12 phút Lời giải Ta có: 3 3 3 0 2 0 78,125 8 s nghìn con. Do đó s t 10 triệu con 10000 nghìn con khi 10000 10000 0 2 2 128 t log 128 7 phút. Chọn C.
Ví dụ 8: Trong môi trường nuôi cấy ổn định người ta nhận thấy cứ sau 5 ngày số lượng loài vi khuẩn A tăng lên gấp đôi, còn sau 10 ngày số lượng loài vi khuẩn B tăng lên gấp ba. Giả sử ban đầu có 100 con vi khuẩn A và 200 con vi khuẩn B, hỏi sau bao nhiêu ngày nuôi cấy trong môi trường đó thì số lượng hai loài bằng nhau, biết rằng tốc độ tăng trưởng của mỗi loài ở mọi thời điểm là như nhau? A. 8 3 5 log 2 × ngày B. 4 3 5 log 2 × ngày C. 3 2 10 log 2 × ngày D. 4 3 10 log 2 × ngày Lời giải Giả sử sau x ngày số lượng hai loài vi khuẩn bằng nhau. Khi đó, ta có log 3 2 log 3 10 5 10 2 log 3. Lại có 2 2 4 4 1 10 2 log 3 log 10 log 2 3 log 2 2 log 3 ngày. Chọn D.
Ví dụ 9: Số lượng của loại virut H trong một phòng thí nghiệm được tính theo công thức (0.3) t st s trong đó s(0) là số lượng virut H lúc ban đầu, s t là số lượng virut H có sau thời gian t phút. Biết sau 5 phút thì số lượng virut H là 815.000 con. Hỏi sau bao lâu, kể từ lúc ban đầu, số lượng virut H là 22.005.000 con? A. 8 phút B. 30 phút C. 27 phút D. 15 phút Lời giải Sau 5 phút thì số lượng virut H là 815.000 con, suy ra 5 5 815.000 815.000 0.3 0 3 s s con. Gọi 0t phút là thời gian để có 22.005.000 con virut, suy ra 0 5 0 815.000 22.005.000.3 8 3 t ⇒ t phút. Chọn A.