Bài toán số phức quy về giải hệ phương trình nghiệm thực

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Bài toán số phức quy về giải hệ phương trình nghiệm thực, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Bài toán số phức quy về giải hệ phương trình nghiệm thực:
Dạng 2: Bài toán số phức quy về giải hệ phương trình nghiệm thực Phương pháp: Đặt z a bi a b từ đó suy ra 2 2 z a bi z a b. Sử dụng tính chất 2 số phức bằng nhau: 1 112 2 2 z a bi z a bi ta có: 1 2 1 2 1 2 a a z z b b. Ví dụ 1: Tìm 2 số thực x và y thỏa mãn (2 3 13 6 x yi i x i) với i là đơn vị ảo. Lời giải Ta có: 21 1 2 3 13 6 2 1 3 3 6 3 36 3 xx x x yi i x i x y i x i y y. Chọn A.
Ví dụ 2: Tìm mô-đun của số phức z biết rằng (1 2 1 21 3 iz iz i). A. z = 34. B. z = 5. C. z = 3 2. D. z = 29. Lời giải Đặt z a bi a b. Ta có: (1 2 1 i a bi i a bi i) 21 3 ⇔ a b a b i a b ai bi i 2 2 21 3 2 3 21 3 2 3 21 3 34 3 5 ab a a b ai i z a b. Chọn A. Ví dụ 3: Tìm tổng phần thực và phần ảo của số phức z biết rằng (12 22 iz iz i).
Lời giải Đặt z a bi a b. Ta có: (12 22 i a bi i a bi i) a b a b i a b ai bi i 2 2 222 2 4 340 7 3 4 3 1 3 1 a b a a b bi i S b b. Chọn C. Ví dụ 4: Cho số phức z a bi a b thỏa mãn: 2 23 4 13 iz iz i. Tính T ab 2 A. T = −8. B. T = 8. C. T = −1. D. T = 1. Lời giải Ta có: (23 4 86 i a bi i a bi i) 648 2 6 4 2 2 86 2 1 226 5 ab a a b a bi i T ab ab b. Chọn D.
Ví dụ 5: Cho số phức z a bi a b thỏa mãn (1 2 1 11 2 2 iz z i i ). Tính P ab. A. P = 0. B. P = 1. C. P = −1. D. 1 3 P. Lời giải Đặt z a bi a b z a bi. Ta có (1 2 1 1 1 21 1 2 i z z i iz iz i). Suy ra 21 1 2 21 z i z i a bi i a bi. Chọn A. Ví dụ 6: Cho số phức z thỏa mãn hệ thức 2 3 2 i i z iz i. Mô đun của số phức w zi là? Lời giải Đặt 2 3 2 252 1 0 i z a bi a b i a bi i a bi a b a i. Chọn D.
Ví dụ 7: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời z i (2 10) và z z 25 A. 2. B. 3. C. 1. D. 4. Lời giải Đặt 2 2 z a bi a b z a bi z z a b 25. Ta có: 2 2 2 2 a bi i a b 2 10 2 1 10 a b a b 4 2 5 Giải hệ 2 2 2 2 a b a b ab ab a b có 2 số phức thỏa mãn. Chọn A. Ví dụ 8: [Đề THPT Quốc gia 2017] Cho số phức z thỏa mãn z = 5 và zz i 3 3 10. Tìm số phức wz i 4 3.
Lời giải Đặt z a bi a b. a bi a b a bi a b i a ba b. Chọn D. Ví dụ 9: [Đề THPT Quốc gia 2017] Cho số phức z a bi a b thỏa mãn z i zi 13 0. Tính Sa b 3. Lời giải Đặt z a bi a b ta có: 2 2 a bi i a b i. Chọn B. Ví dụ 10: [Đề THPT Quốc gia 2017] Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z i 2 22 và 2 z 1 là số thuần ảo? Lời giải Đặt z a bi a b ta có: 2 2 a bi i a b 2 22 2 1 8. Mặt khác 2 22 2 z a bi a b a bi 1 1 1 21 là số thuần ảo suy ra 2 2 a b 1 0. Do đó a b a b. Suy ra có 3 số phức thỏa mãn. Chọn D.