Bài toán mặt cầu với hình chóp có cạnh bên vuông góc đáy

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Bài toán mặt cầu với hình chóp có cạnh bên vuông góc đáy, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Bài toán mặt cầu với hình chóp có cạnh bên vuông góc đáy:
Dạng 3: Bài toán mặt cầu với hình chóp có cạnh bên vuông góc đáy. Xét khối chóp S ABC có SA ABC. Tìm tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC. Dựng tâm. Dựng trục đường tròn ngoại tiếp d của tam giác ABC thì d SA. Trong mặt phẳng (SA;d) dựng đường trung trực ∆ của SA. Tâm I của mặt cầu là giao điểm của d và ∆. Tính bán kính R của mặt cầu.
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC. Gọi E là trung điểm của SA. Xét ∆AOI vuông tại O. Ta có 2 2 SA R AI OA OI OA AE OB với OA R d là bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy. Khi đó: 2 2 S ABC d SA R R. Tổng quát: Cho khối chóp 1 2 . n SAA A có 1 2 SA AA A. Gọi Rd là bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác 1 2. AA A An thì bán kính mặt cầu ngoại tiếp R của khối chóp 1 2 . . n SAA A được tính theo công thức 2 2 4 d SA R R.
Ví dụ 1: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A AB a AC a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bằng 0 60. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC bằng? Lời giải Ta có 0 SB ABC SBA SA AB a 60 tan 60 3. Tam giác ABC vuông tại 222 A AB AC BC BC a ⇒ Hình chóp S ABC có chiều cao h a 3; bán kính 2 BC R a ⇒ Bán kính mặt cầu cần tính là 2 3 7 a a R a. Chọn D.
Ví dụ 2: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều có diện tích bằng 2 a 3. Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Diện tích tam giác SBC bằng 2 2 a. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC là? Lời giải: Đặt 2 3 2 3 2 4 ABC x AB x S a x a ∆. Gọi H là trung điểm của BC AH BC ⇒ mà SA BC. Suy ra BC SAH BC SH S SH BC a SH a a SH a SA SH AH a.
Hình chóp S ABC có chiều cao h SA a bán kính 2 3 3 a R ⇒ Bán kính mặt cầu cần tính là a a a R. Chọn A. Ví dụ 3: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA a 2 và SA vuông góc với mặt phẳng đáy, tam giác SBD là tam giác đều. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD bằng? Lời giải Đặt AB x BD x và 2 2 22 SB SA AB x a. Tam giác SBD đều 2 2 SB BD x a.
Hình chóp S ABCD có chiều cao h a 2; bán kính R a ⇒ Bán kính mặt cầu cần tính là 2 6 4 2 a a R a. Vậy thể tích khối cầu là 3 4 6 3 a V a π. Chọn C. Ví dụ 4: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông, cạnh a, SA vuông góc với đáy và SC tạo với mặt phẳng (SAB) một góc 0 30. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD bằng?
Lời giải: Ta có SA BC CB SAB SC SAB SC SB CSB. Tam giác SBC vuông tại tan 3 BC B CSB SB a SB. Tam giác SAB vuông tại 2 2 A SA SB AB a. Vậy d BD AB a h SA a R nên R a. Chọn A. Ví dụ 5: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại 0 A AB a ACB 30. Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bằng 0 45. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC bằng?
Lời giải: Ta có 0 SA ABC SB ABC SB AB SBA 45. Tam giác SAB vuông tại A có 0 SBA SA AB a 45. Tam giác ABC vuông tại A có sin 2 AB ACB AC a AC. Suy ra bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC là 2 ABC AC R a ∆. Vậy bán kính mặt cầu cần tính là 2 2 ABC SA a a RR a ∆. Chọn B. Ví dụ 6: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng 0 45.
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABCD bằng 6 2 a. Diện tích tam giác SAB bằng: Vì 0 CD SAD SCD ABCD SD AD SDA ⇒ 45. Tam giác SAD vuông tại A có 0 SDA SA AD x. Bán kính đường tròn ngoại tiếp ABCD là 2 ABCD AC x R. Bán kính mặt cầu là 2 SA x R R. Mà 2 22 S ABCD a xa R. Vậy 2 SAB x S a ∆. Chọn C. Ví dụ 7: Cho mặt cầu (S) có bán kính R = 3 đi qua điểm A cố định. Xét các điểm BCD thuộc (S) sao cho AB AC AD đôi một vuông góc với nhau. Thể tích của khối tứ diện ABCD có giá trị lớn nhất bằng?
Bài toán tổng quát: Tứ diện ABCD, AB AC AD đôi một vuông góc và AB a AC b AD c thì bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là 222 2 abc R. Ví dụ 8: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 0 a BAD 60 và các cạnh bên 0 SA SB SD BSD 90. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S ABCD là? Lời giải: Vì SA SB SD và ∆ABD đều cạnh a S ABD là hình chóp tam giác đều. Mặt khác 0 BSD SB SD SA SB SD đôi một vuông góc và bằng. Áp dụng công thức giải nhanh, ta được 6 2 4 S ABD SA SB SD a R R. Chọn A.