Bài toán mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Bài toán mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Bài toán mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng:
Dạng 2: Bài toán mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng Có hai đặc điểm quan trọng của bài toán về trường hợp mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu Điều kiện tiếp xúc dI P R. Tâm I sẽ nằm trên đường thẳng ∆ đi qua điểm tiếp xúc và vuông góc với mặt phẳng (P). Ví dụ 1: Lập phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc (P xyz) 3 4 0 tại điểm M (1;-2;3) và đi qua A(−1;0;1). Lời giải: Do (S) tiếp xúc với (P) tại M (1;-2;3) nên IM P IM ⇒ qua M (1;-2;3) và có vectơ chỉ phương (3;1;1) P u n suy ra 1 3 : 2 3 x t IM y t z t. Gọi I t tt 1 3 2 3. Ta có 222 22 2 IM IA t t 12 12 0 1 t t. Suy ra 222 I R IA S x y z.
Ví dụ 2: Lập phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc (Px y z): 2 3 10 0 tại điểm M (2;-3;-2) và đi qua A(0;1;2). Lời giải: Do (S) tiếp xúc với (P) tại M (2;-3;-2) nên IM P IM ⇒ qua M (2;-3;-2) và có vectơ chỉ phương (1;2;3) P u n suy ra 2 : 32 2 3 x t IM y t z t. Gọi It t 2 3. Ta có 222 IM IA t t 14 2 2 4 3 4 36 36 0 1 3 1 1 14 t t I R IA. Phương trình mặt cầu 2 22 Sx y z : 3 1 1 14.
Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu có tâm I (-1;2;-1) và tiếp xúc với mặt phẳng (P xy z) 2 2 3 0? Lời giải: Bán kính mặt cầu tâm I là: 414 R dI P. Do đó phương trình mặt cầu là: 2 22 xy z 1 2 19. Chọn D. Ví dụ 4: Có bao nhiêu mặt phẳng song song với mặt phẳng (α): 0 xyz đồng thời tiếp xúc với mặt cầu 2 22 Sx y z x y z 2220? A. 1. B. 0. C. vô số. D. 2.
Lời giải: Mặt cầu có tâm I R (1;1;1). Mặt phẳng cầm tìm có dạng (Pxyzm P m). Do 0 (α). Điều kiện tiếp xúc: 3 3 6 m m dI P R m. Chọn A. Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 1 x t d y z t và hai mặt phẳng (Px y z) 2 2 30 và (Qx y z): 2 2 70. Phương trình mặt cầu (S) có I d và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng (P) và (Q) có phương trình là?
Lời giải: Gọi It d do (S) tiếp xúc với cả 2 mặt phẳng (P) và (Q) nên: 5 2 3 33 3 t t dI P dI Q R t R. Phương trình mặt cầu cần tìm là: 222 4 313 9 x yz. Chọn B. Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 1 1 3 11 xyz d và mặt phẳng (P xy z) 2 2 2 0. Phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng d có bán kính nhỏ nhất, tiếp xúc với (P) và đi qua điểm A(1;-1;1) là?
Lời giải: Do I d ta gọi I t t (1 3 1) khi đó IA d I P R. Do (S) có bán kính nhỏ nhất nên ta chọn 2 2 2 t R I Sx y z ⇒ 0 1 1 1. Chọn A. Ví dụ 7: [Đề thi chuyên ĐH Vinh 2017] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) đi qua điểm A(2;-2;5) và tiếp xúc với các mặt phẳng (αβγ): 1 1 xy z. Bán kính của mặt cầu (S) bằng? Lời giải: Gọi I abc ta có: dI dI dI (αβγ) suy ra Ra b c 111. Do điểm A(2;-2;5) thuộc miền xy z 1 1 1 nên I abc cũng thuộc miền xy z 1 1 1. Khi đó I R R. Mặt khác 2 2 2 2 IA R R 11 4 3. Chọn D.