Bài toán mặt cầu của hình chóp có các cạnh bên bằng nhau

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Bài toán mặt cầu của hình chóp có các cạnh bên bằng nhau, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Bài toán mặt cầu của hình chóp có các cạnh bên bằng nhau:
Dạng 5: Bài toán mặt cầu của hình chóp có các cạnh bên bằng nhau Xét khối chóp S ABC có SA SB SC. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC (Hình chóp đều là một trường hợp đặc biệt của dạng toán này). Dựng tâm. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì ta có SO ABC. Trong mặt phẳng (SAO) dựng đường trung trực của SA cắt SO tại I thì I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC. Tính bán kính R của mặt cầu.
Gọi E là trung điểm của AB. Hai tam giác vuông SOA và SEI đồng dạng. Suy ra SO SA SE SA SA R SI SE SI SO SO. Vậy
2 2 SA R SH. Tổng quát: Cho khối chóp 1 2 … n SAA A có 1 2 … n S A SA SA và có chiều cao SO h thì bán kính mặt cầu ngoại tiếp R của khối chóp 1 2 … n SAA A được tính theo công thức: 2 2 R SO h. Ví dụ 1: Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều S ABC có AB a SA a 2 bằng? Lời giải Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ → ABC SO ABC. Gọi M là trung điểm của a a BC OA AM. Tam giác SAO vuông tại 2 2 15 a O SO SA OA. Vậy 3 15 15 4 15 2 aa a SA a SO R V π. Chọn B.
Mở rộng với bài toán hình chóp tam giác đều. Cho hình chóp tam giác đều S ABC có cạnh đáy bằng a với giả thiết. Cạnh bên SA b thì 2 b R b a. Cạnh bên SA hợp với đáy một góc α thì 3 3 sin 2 R a α. Mặt bên tạo với mặt đáy một góc β thì 2 3 4 tan 12 tan R a β β. Góc SAB thì 3 4 cos cos3 a R. Góc ASB γ thì 3 3 4 sin sin 2 2 a R γ γ. Ví dụ 2: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A AB a 2. Các cạnh bên SA SB SC. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) bằng 0 45. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC. bằng?
Lời giải: Gọi O là trung điểm BC O ⇒ là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC SO ABC SA ABC SA OA SAO. Tam giác ABC vuông cân tại A BC AB a. Tam giác SAO vuông cân tại 2 BC O SO OA a. Vậy SO a SA OA a R a. Chọn D. Ví dụ 3: Cho hình chóp đều S ABC có cạnh đáy bằng 1, khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng 6. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD bằng? Lời giải: Gọi O là tâm tam giác ABC M, là trung điểm BC SO ABC OA AM OM OA. Kẻ OH SM H SM OH SBC.
Ta có 4 12 d A ABC OH OH. Tam giác SMO vuông tại M có 22 2 111 3 6 SO OH SO OM. Vậy 3 2 2 15 5 3 SO SA SO OA R. Diện tích mặt cầu cần tính là 2 25 4 12 S R π π. Chọn A. Ví dụ 4: Cho ba tia Sx Sy Sz không đồng phẳng và xSy ySz zSx 120 60 90. Trên các tia Sx Sy Sz lấy lần lượt các điểm ABC sao cho SA SB SC a. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
Lời giải: Tam giác SAB có Ab SA SB SA SB ASB a. Tam giác SAC vuông cân tại S AC SA a. Suy ra 222 AC BC AB ABC → ∆ vuông tại C. Gọi O là trung điểm của AB SO ABC → Tam giác SAO vuông tại 2 2 2 a O SO SA OA ⇒ Vậy a SA SO SA a R a SO. Chọn B. Ví dụ 5: Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với mặt đáy một góc 0 60. Thể tích của khối cầu ngoại tiếp khối chóp S ABCD là?
Lời giải: Gọi O là tâm hình vuông ABCD SO ABCD. Do đó 0 SB ABCD SB OB SBO. Tam giác SBO vuông tại O, có 2 cos tan 2 OB SB a SB SBO a SO SO OB SBO. Suy ra bán kính mặt cầu cần tính là 2 2 6 6 2 SB a a R a. Vậy diện tích khối cầu cần tính là 3 3 3 27 a a V R π. Chọn D. Ví dụ 6: Cho hình chóp S ABCD có AC a 2 mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABCD) một góc 0 45. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD bằng?
Lời giải: Gọi M là trung điểm BC OM BC BC SMO ⇒ Do đó 0 SBC ABCD SM MO SMO. Vì ABCD là hình vuông có AC a AB a 2 2. Tam giác SMO vuông cân tại 2 2 a O SO OM ⇒ Tam giác SAO vuông tại 2 2 6 2 a O SA SO OA. Vậy 6 2 32 22 4 a a SA SO R a. Chọn C. Ví dụ 7: Cho hình chóp đều S ABCD có cạnh đáy bằng 2a, khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AD bằng 3 a. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD bằng?
Lời giải: Ta có AD BC AD SBC d SB AD d A SBC. Gọi O là tâm hình vuông ABCD SO ABCD. Gọi M là trung điểm BC kẻ OH SM H SM OH SBC d A SBC OH OH. Tam giác SMO vuông có 22 2 111 SO a 3 OH SO OM. Vậy 2 2 5 6 3 5 3 SO a SA SO OA a R R a. Chọn D. Ví dụ 8: Trong tất cả các hình chóp tứ giác đều nội tiếp mặt cầu có bán kính bằng 9, tính thể tích V của khối chóp có thể tích lớn nhất? Lời giải Xét mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp S ABCD. Gọi O là tâm hình vuông ABCD SO ABCD.
Bán kính mặt cầu (S) là 2 2 18 SA R SA h h. Đặt 3 3 S ABCD ABCD h x AB x V SO S. Tam giác SAO vuông tại 2 2 x O SA SO OA h. Thay vào (*), ta được 2 2 2 2 18 36 2 2 x h h x hh. Do đó 2 23 max 2 36 2 12 576 3 3 h Casio V hh h h V → Chọn B.