Bài toán liên quan đến tổng n số hạng của cấp số cộng

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Bài toán liên quan đến tổng n số hạng của cấp số cộng, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.

Nội dung bài viết Bài toán liên quan đến tổng n số hạng của cấp số cộng:
Dạng 2. Bài toán liên quan đến tổng n số hạng của cấp số cộng. Ví dụ 1: Một cấp số cộng có 12 số hạng. Biết rằng tổng của 12 số hạng đó bằng 144 và số hạng thứ mười hai bằng 23. Khi đó công sai d của cấp số cộng đã cho là bao nhiêu? Lời giải: Ta có 1 1 12 1 12 23 144 144 2 2 11 u d u u S u u d. Ví dụ 2: Xét các số nguyên dương chia hết cho 3. Tính tổng số 50 số nguyên dương đầu tiên đó. Lời giải: Số nguyên dương chia hết cho 3 có dạng 3n n N nên chúng lập thành cấp số cộng với 1 3150 n u u n. Vậy 50 1 50 50 3825 2 S u u. Chú ý: Công thức tính tổng n n n S u u nu d.
Ví dụ 3: a) Cho một cấp số cộng u(n) có 6 S 18 và 10 S 110. Tính 20 S. b) Cho một cấp số cộng u(n) có 3 28 u u100. Tính tổng của 30 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó. Lời giải: Khi đó, tổng 30 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó là S u d 30 1 15 2 29 1500. Ví dụ 4: Một công viên hình tam giác được trồng cây xanh theo hàng có quy luật của một cấp số cộng như sau: Hàng thứ nhất có 9 cây, hàng thứ 10 có 54 cây, hàng cuối cùng có 2014 cây. Hỏi công viên đó có tất cả bao nhiêu hàng cây được trồng?
Lời giải: Gọi n là số hàng cây được trồng trong công viên. Vì cây trong công viên được trồng theo hàng có quy luật là một cấp số cộng nên gọi 1 2 n u u u lần lượt là số cây của hàng. Khi đó 1 10 u u 9 54 và 2014. Ví dụ 5: Khi ký hợp đồng dài hạn (10 năm) với các công nhân được tuyển dụng. Công ty liên doanh D đề xuất hai phương án trả lương để người lao động chọn, đó là PA1. Người lao động sẽ nhận 36 triệu đồng cho năm làm việc đầu tiên và kể từ năm thứ hai, mức lương sẽ được tăng thêm 3 triệu đồng mỗi năm.
PA2. Người lao động sẽ nhận được 7 triệu đồng cho quý đầu tiên và kể tự quý làm việc thứ hai mức lương sẽ tăng thêm 500.000 đồng mỗi quý. Nếu bạn là người lao động, bạn sẽ chọn phương án nào? Lời giải: Kí hiệu X là người lao động. xét mỗi phương án mà công ty đưa ra, ta có: PA1. Năm thứ nhất, X nhận được 36 triệu đồng, tức là 1 u 36. Năm thứ hai, X nhận được 36+3=39 triệu đồng, tức là 2 u 39. Khi đó, số tiền lương mà X nhận được chính là cấp số cộng với 1 u d 36 3. Do đó, tổng số tiền X nhận được sau 10 năm là S u d 10 1 5 2 9 495 triệu đồng.
PA2. Quý đầu tiên, X nhận được 7 triệu đồng, tức là 1 u 7. Sang quý thứ hai, X nhận được 7+0,5=7,5 triệu đồng, tức là 2 u 7,5. Khi đó, số tiền lương mà X nhận được chính là cấp số cộng với 1 u d 7 0,5. Do đó, tổng số tiền X nhận được sau 10 năm là S u d 40 1 20 2 39 670 triệu đồng. Vậy ta thấy nếu kí hợp đồng theo PA2 thì số tiền lương nhận được sẽ cao hơn và chắc chắn ta sẽ chọn PA2. Ví dụ 6: Giải các phương trình sau: Lời giải: a) Xét dãy số x là dãy số có số hạng đầu 1 u 1 và công sai d 5 nên tổng n số hạng đầu tiên của dãy là 2 1 2 5 1 1.
Vậy x u u n d n 1 1 1 20 1 5 96 là giá trị cần tìm. b) Xét dãy số x x 1, 4, 7 .. 28 là dãy số có số hạng đầu 1 u x 1 số hạng cuối 28 n u x. Vậy 10 1 45 3 155 10 1 20 1 x x là giá trị cần tìm. Ví dụ 7: Cho hai cấp số cộng u(n) và vn có tổng n số hạng đầu tiên là n S và Tn. Biết rằng 6 1 9 1 n n S n T n. Tìm 11 11 u v. Lời giải: Gọi 1 1 u a lần lượt là số hạng đầu của u(n) và vn. Và 1 1 d h lần lượt là công sai của hai cấp số cộng u(n) và vn. Ta có 2 1 1 1 n u n d S kết hợp với ta được 11 11 127 190 u v.
Ví dụ 8: Chứng minh rằng nếu 2 3 n n n S S S tương ứng là tổng của n n n 2 3 số hạng đầu tiên của một cấp số cộng thì S S S 3 2 n n 3. Lời giải: Sử dụng các công thức 1 1 2 n n n và 1 u u n S. Vậy ta có điều phải chứng minh.