Bài toán liên quan đến tính chất của cấp số cộng

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Bài toán liên quan đến tính chất của cấp số cộng, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.

Nội dung bài viết Bài toán liên quan đến tính chất của cấp số cộng:
Dạng 1. Bài toán liên quan đến tính chất của cấp số cộng Ví dụ 1. Tính số hạng đầu 1 u và công sai d của một cấp số cộng biết a) 4 7 10 19 u u b) 3 14 15 18 u. Lời giải: a) Ta có 4 1 7 1 1 10 3 10 3 19 6 19 1 u u d d. b) Ta có 3 1 14 1 1 15 2 15 3 u u d d. Ví dụ 2. Tính số hạng đầu 1 u và công sai d của một cấp số cộng biết a) 1 3 5 1 6 u u u b) 1 5 3 10 7 u u u.
Ví dụ 3. Tính số hạng đầu 1 u và công sai d của một cấp số cộng biết a) 7 15 2 2 1170 u u b) 1 2 3 27 275 u u u. Ví dụ 4. Cho dãy số u(n) với 11 10 n u n. a) Viết 5 số hạng đầu của dãy. b) Chứng minh dãy số u(n) là cấp số cộng. Chỉ rõ 1 u và d. Lời giải: a) 5 số hạng đầu của dãy là 1, 9, 19, 29, 39. b) Xét hiệu u u n n 11 10 1 11 10 10. Do đó 1 5 n n u u suy ra dãy số u(n) là cấp số cộng với 1 u d 1 10.
Ví dụ 4: a) Viết năm số xen giữa hai số 1 và 25 để được một cấp số cộng có tám số hạng. Tính tổng các số hạng của cấp số này. b) Viết sáu số hạng xen giữa hai số 30 và 2 để được một cấp số cộng có bảy số hạng. Số hạng thứ 50 của cấp số này là bao nhiêu? Lời giải: a) Theo bài ra, ta có 1 8 u u 3 24. Từ công thức u u n d n. Suy ra 1 25 1 4 1 7 1 n u u d n. Vậy 5 số phải viết thêm là 5, 9, 13, 17, 21. b) Ta có 1 2 30 4 n u u d. Vậy 6 số phải viết thêm là 26, 22, 18, 14, 10, 6. Lại có u u n d u n 1 50 1 30 50 14 166.
Ví dụ 5: Cho hai cấp số cộng: 4, 7, 10, 13, 16, 19 … n x … 1, 6, 11, 16, 21, 26, … n y. Hỏi trong 100 số hạng đầu tiên của mỗi cấp số cộng có bao nhiêu số hạng chung? Lời giải: Ta có x n n n 4 1 3 3 1 với 1 100 n y k k k 1 1 5 5 4 với 1 100 k. Để một số là số hạng chung, ta phải có 3 1 5 4 3 5 1 n k n k. Suy ra n chia hết cho 5, tức n t 5 và k t 3 1 với t Z. Vì 1 100 n nên 1 20 t. Ứng với 20 giá trị của t, ta tìm được 20 số hạng chung. Chẳng hạn, với t 1 thì n k 5 4 khi đó 5 4 x y 16.
Ví dụ 6: Chứng minh rằng ba số dương a, b, c theo thứ tự lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi các số 1 1 1 b c c a a b theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Lời giải: Ba số b c c a a b lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi c a b c a b b c lập thành cấp số cộng. Ví dụ 7: Chu vi của một đa giác là 45 cm, số đo các cạnh của nó lập thành một cấp số cộng với công sai d cm 3. Biết cạnh lớn nhất là 15 cm, tính số cạnh của đa giác đó.
Lời giải: Gọi cạnh nhỏ nhất của đa giác là 1 u và số cạnh của đa giác là n. Ta có 15 1 3 u n 1 hay 1 u n n 18 3 0 6. Tổng các cạnh (tức là chu vi đa giác) là 45 cm, ta có 15 18 3 45 2 n n hay 2 3 33 90 0 n n. Giải phương trình với n N n 6 ta được n 5. Ví dụ 8: Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng, biết? Lời giải: Gọi số hạng đầu tiên và công sai của cấp số cộng lần lượt là 1 u d. Khi đó, số hạng thứ n của cấp số cộng có dạng u u n d n.
Ví dụ 9: Xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng, biết rằng a) 12 18 36 45 S S b) 5 10 10 5 u S. Lời giải: Gọi 1 u d lần lượt là số hạng đầu và công sai của cấp số cộng. Áp dụng công thức tính tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng: 2 1 1 2 n n u n d S. a) Ta có 36 2 11 6 2 u d S u d. Và 1 18 1 18 2 17 S u d. Từ 1 2 suy ra 2 11 6 12 b) Ta có 10 4 10 86 u d S u d d.
Ví dụ 10: Tìm ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, biết rằng: a) Tổng của chúng bằng 15 và tích của chúng bằng 105. b) Tổng của chúng bằng 21 và tổng bình phương của chúng bằng 155. Lời giải: Gọi ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng là a b c a c b. a) Theo bài ra, ta có 15 105 a b c abc kết hợp với ta được 15 105 a b c b) Theo bài ra, ta có 21 155 a b c kết hợp với ta được 155 a b c.
Ví dụ 11: Tìm giá trị của x để ba số 2 a x b x c x 10 3 2 3 7 4 theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Lời giải: Vì ba số a, b, c lập thành cấp số cộng nên a c b 2. Khi đó 10 3 7 4 2. Vậy x 1 hoặc 11 4 x là các giá trị cần tìm. Ví dụ 12: Tìm số nguyên dương n biết 1 2C C n n n tương ứng với số hạng thứ 1, số hạng thứ 4, và số hạng thứ 19 của cấp số cộng.
Ví dụ 13: Tìm giá trị x dương nhỏ nhất thỏa mãn ba số sin sin 2 3 cos x x x lập thành cấp số cộng. Lời giải: Theo bài ra, ba số sin sin 2 3 cos x lập thành cấp số cộng nên suy ra 1 3 sin 3 cos 2sin 2 sin cos sin .cos sin .cos sin 2. Ví dụ 14: Cho ba số a, b, c theo thứ tự là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng. Chứng minh rằng 2 2 a bc c ab. Lời giải: Vì a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng suy ra a c b. Ta có 2 2 a bc. Suy ra 2 2 a bc c a điều phải chứng minh.